【考试必备】2018-2019年最新江苏省常州高级中学初升高自主招生考试数学模拟精品试卷【含解析】【5套试卷】

11．已知抛物线C：y?x2与直线l：y?kx?1没有公共点，设点

12

P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．

(1)证明：直线AB恒过定点Q； (2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：

PMPN?QMQN．

12证明 (1)设A(x1,y1)，则y1?x12． 由y?x2得y??x，所以y?|x?x?x1．

112于是抛物线C在A点处的切线方程为y?y1?x1(x?x1)，即y?x1x?y1． 设P(x0,kx0?1)，则有kx0?1?x0x1?y1． 设B(x2,y2)，同理有kx0?1?x0x2?y2．

所以AB的方程为kx0?1?x0x?y，即x0(x?k)?(y?1)?0， 所

以

直

线

AB恒过定点

Q(k,1)． ----------------7分

(2)PQ的方程为y?去y，得

kx0?21(x?k)?1，与抛物线方程y?x2联立，消x0?k22kx0?4(2k2?2)x0?2kx?x??0．

x0?kx0?k2设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则

2kx0?4(2k2?2)x0?2k ① x3?x4?,x3x4?x0?kx0?k要证

PMPN?QMQN，只需证明

x3?x0k?x3?，即 x4?x0x4?k2x3x4?(k?x0)(x3?x4)?2kx0?0

②

由①知，

②式左边=2(2k2?2)x0?4kx?(k?x2kx0?40)k?2kx0

0?kx0??2(2k2?2)x0?4k?(k?x0)(2kx0?4)?2kx0(x0?k)x?k?0．

0故②式成立，从而结论立． ----------------------15分

成

某校

设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为

1?x1?x2???xn?1?xn?2014.

依题意知Sk?x1?x2??xn?xk(k?1,2,?,n)?Z?.

n?1xj?xin?1?Z?.

对任意i,j(1?i?j?n)均有Si?Sj?于是，xj?xi?n?1.

故xn?x1?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)???(x2?x1)?(n?1)2

?(n?1)2?xn?x1?2013?n?45.

由于

2014?1为整数，从而，n?1为2013的约数. n?1注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n的最大值为34，即参赛选手最多有34名.

这样的34名选手的号码是可以实现的.如

xi?33i?32(i?1,2,?,33),x34?2014.

因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.