斜上抛运动的研究

斜上抛运动的研究（无空气阻力）

摘要：在不考虑空气阻力的情况下，通过研究平面抛体运动，理解抛体运动的特点，

掌握匀变速曲线运动的处理方法及斜上抛运动的规律，能将匀变速直线运动的规律、运动合成与分解的方法，顺利的迁移到抛体运动中，已解决抛体（曲线）运动问题。用计算机模拟的方法，观察在无空气阻力的情况下，抛体运动的过程。

关键词： 斜上抛 无阻力 改进的欧拉折线法 引言

我们学习了对运动的描述和直线运动的规律。为了进一步探讨较为复杂的运动的处理方法——运动的合成与分解，该方法体现了物理学中非常重要的等效思想。所以通过抛体运动的实例,来体会出运动的合成与分解方法的妙处。由于抛体运动是一种曲形的运动形式,与牛顿定律及能量知识结合紧密,也是力学和重要应用内容之一。

1 抛体运动的定义、性质及分类

定义：物体以一定的初速度抛出且只在重力作用下物体所做的运动叫抛体运动。

性质：抛体运动是匀变速运动，因为它受到恒定的重力mg作用，其加速度是恒定的重力加速度g。

分类：按初速度的方向抛体运动可以分为:

竖直上抛：初速度v0竖直向上，与重力方向相反，物体做匀减速直线运动； 竖直下抛：初速度v0竖直向下，与重力方向相同，物体做匀加速直线运动； 斜上抛： 初速度v0的方向与重力的方向成钝角，物体做匀变速曲线运动； 斜下抛：初速度v0的方向与重力的方向成锐角，物体做匀变速曲线运动；

平抛：初速度v0的方向与重力的方向成直角，即物体以水平速度抛出，物体做匀变速曲线运动；

二 抛体运动中所研究的三个问题

1、抛体的位置

抛体运动位置的描写：除上抛和下抛运动，一般来说，抛体运动是平面曲线运动，任意时刻的位置要由两个坐标来描写，建立坐标系，弄清在两个方向上物体分别做什么运动，写出x、y两个方向上的位移时间关系，x=x(t) y=y(t) ，问题得到解决。

2、轨迹的确定

由两个方向上的运动学方程x=x(t) y=y(t)消除时间t，得到轨迹方程y=f(x)。

3、合速度及合加速度的确定

弄清在两个方向上物体分别做什么运动，写出经时间t物体在x、y两个方向上的分速度vx vy ，由平行四边形法则，可以求得任意时刻的瞬时速度v。 加速度的求法如速度求法一样。

三 斜上抛运动的规律

1运动规律：水平方向：不受外力，以vx?v0cos?为初速度做匀速直线运动。

水平位移：x?vxt?v0cos?t；

竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为v0y?v0sin?，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动

任意时刻的速度和位移分别是vy?v0y?gt,y?voy?2运动方程： y?ta?n?x?12gt 2g2，是一条抛物线如图所示： x222v0co?s

3 对斜抛运动的研究

（1）斜抛物体的飞行时间：

当物体落地时vy??v0y??v0sin?，由 vy?v0y?gt 知，飞行时间

t?2v0sin?. g （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程y?tan??x?g2可知，令y=0得落回抛出高度时的水 x222v0cos?vsin2?平射程是x?0

g

2四 处理抛体运动的分解方法及技巧

分解方法：一般的处理方法是将其分解为两个熟悉而又简单的直线运动，达

到解决问题的目的。将实际运动分解的方法不是唯一的，通常视解决问题的方便而定。最常用的分解方法是：水平方向上匀速直线运动；竖直方向上自由落体运动。无论怎样分解，都必须把运动的独立性和独立作用原理结合进行系统分解，即将初速度、受力情况、加速度及位移等进行相应分解，皆遵守平行四边形运算法则。轨迹的确定方法：由两个方向分运动的运动学方程消除时间参数，得到轨迹方程。

技巧：

（1）通过速度矢量三角形建立关系：任意时刻的速度v可以分解为水平速度vx和竖直速度vy， v、vx、vy 三者构成直角三角形，这个三角形在很多情况下能够建立起已知、未知和待求量的关系。

（2）抛体运动在竖直方向是匀变速运动，灵活的运用好匀变速运动的规律，

对于顺利解决问题很有帮助。

五 介绍欧拉折线法及计算机程序(斜上抛) 1介绍欧拉折线法

对于给定的微分方程

dy(x)?G(x,y) （1-1） dx若已知初始条件，即x0时的y(x0)，求取任意值x时的y(x)，在数学上称为求解该微分方程的初值问题。如果G(x,y)是直接可积分的函数时，可得

xG(x,y)dx （1-2） y(x)??x0但该式的解往往不能用初等函数表达，就需要作近似计算的数值方法，即求此微分方程初值问题的数值解，通常数值解就是用近似方法求出在一系列点

x0?x1?x2???xi??? 上的值yi(i?1,2,3?)作为所要求的y(xi)的值。求解微分方程（1-1）的初值问题，从几何意义上讲就是求通过XY平面上的一点?x0,y(x0)?的一条曲线y(x)。欧拉方法用一条折线近似代换这条曲线。折线的求取过程为：由于（1-1）式表明G(x,y)是函数曲线y(x)在点(x,y)的斜率，先过点?x0,y(x0)?作该曲线的切线，此切线与直线x?x1相交于点(x1,y1)，就以点(x1,y1)作为曲线y(x)上对应于x1的点?x1,y(x1)?的近似，如图1-1所示。因为曲线在点?x0,y(x0)?的切线方程为y?y0?G(x0,y0)(x?x0)。当x?x1时，得y1?y0?G(x0,y0)(x1?x0) ，则可得到近似值y1。为了求得下一点x2处的近似值，紧接着过点(x1,y1)以并得到x2处的值y2?y1?G(x1,y1)(x2?x1) 即得到y2的G(x1,y1)为斜率作切线，

值。依此类推，只要以求出第i点的(xi,yi)，则过此点以G(xi,yi)为斜率作切线，就可得到xi?1处的近似值yi?1?yi?G(xi,yi)(xi?1?xi) 取y(xi?1)?yi?1。这样逐步迭代，就可以得到了一系列的点x0,x1,x2,?xi??，所对应的数值解

y0,y1,y2,?yi,??，由图1—1，欧拉方法的几何意义，就是用折线yi作为x的取点间隔，称为步长，这样欧拉折线法的计算公式为

xi?x0?i*hyi?1?yi?h*G(x,y) （1-3）

在作近似计算的过程中，必需认识到近似值yi与精确解y(xi)之间存在误差。 Y (X1,Y1)