圆锥曲线二级推论
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0abxxyy的椭圆的切线方程是02?02?1.
abx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过
ab两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴
ab的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则
b2kOM?kAB??2，
ab2x0即KAB??2。
ay0双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. 2abx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点
ab分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?FPF?b2tan.
12?28. 椭圆
xy??1（a＞b＞0）的焦半径公a2b222式：
|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,
F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、
1 / 14
圆锥曲线二级推论
x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞
ab0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切
xxyy线方程是02?02?1.
abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞
ab的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?KAB即KABb2x0?2。 ay0b2x0?2，ay00,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. 2abx2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左
abx2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞
ab0,b＞0）内，则被Po所平分的中点
x0xy0yx02y02弦的方程是2?2?2?2.
ababx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞
ab右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为S?FPF?b2cot.
120,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨
x2y2x0xy0y迹方程是2?2?2?2.
abab?2x2y28. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦
ab半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)
椭圆与双曲线的对偶性质--椭 圆
x2y21. 椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶
ab点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的
当M(x0,y0)在右支上时，
|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y211. AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）
ab 2 / 14
直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2
x2y2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22. 过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任
ab一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互
补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0?2（常数）. ay0x2y23. 若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上
ab异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则
a?c???tancot. a?c22x2y24. 设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个
ab圆锥曲线二级推论
焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??,
?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?sin??sin??ca?e.
5. 若椭圆
x22a2?yb2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0）上任
一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且
仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
7. 椭圆(x?x0)2a2?(y?y0)2b2?1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件
是A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
8. 已知椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0），O
为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ. 1)
1|OP|2?1|OQ|2?1a2?1b2; 2) |OP|2
+|OQ|2
的最大值为4a2b2a2?b2;
3) Sa2b2?OPQ的最小值是a2?b2.
3 / 149. 过椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0）的右焦
点F作直线交该椭圆右支于M,N两
点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
|PF||MN|?e2. 10. 已知椭圆x2y2a2?b2?1（ a＞b＞0）
,A、B、是椭圆上的两点，线段
AB的垂直平分线与x轴相交于点
P(x, 则?a2?b2a2?b20,0)a?x0?a.
11. 设P点是椭圆x2a?y22b2?1（ a＞b＞0）
上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
1) |PFPF2b21||2|?1?cos?.
2) S?PF1F2?b2tan?2.
12. 设A、B是椭圆x2y2a2?b2?1（ a＞b
＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,
?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
(1)|PA|?2ab2|cos?|a2?c2cos2?.(2)
tan?tan??1?e2.(3)
2S?2a2b?PABb2?a2cot?. 13. 已知椭圆x2y2a2?b2?1（ a＞b＞0）的
右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中
圆锥曲线二级推论
点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性
质--双曲线
1. 双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）
的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，
与y轴平行的直线交双曲线于
P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹
方程是x2y2a2?b2?1.
4 / 142. 过双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞o）
上任一点A(x0,y0)任意作两条倾
斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且
k??b2x0BCa2y（常数）. 03. 若P为双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b
＞0）右（或左）支上除顶点外
的任一点,F1, F 2是焦点,
?PF1F2??, ?PF2F1??，则
c?ac?a?tan?2cot?2（或c?ac?a?tan?2cot?2）. 4. 设双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）
的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??,
?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin??(sin??sin?)?ca?e.
5. 若双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）
的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
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