误差和分析数据的处理习题
1．指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？
（1） 砝码被腐蚀；
（2） 天平的两臂不等长； （3） 容量瓶和移液管不配套；
（4） 试剂中含有微量的被测组分； （5） 天平的零点有微小变动；
（6） 读取滴定体积时最后一位数字估计不准； （7） 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；
（8） 标定HCl溶液用的NaOH标准溶液中吸收了CO2。
答:（1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。 （5）随机误差。
（6）系统误差中的操作误差。减免的方法：多读几次取平均值。 （7）过失误差。
（8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。
2．如果分析天平的称量误差为±0.2mg，拟分别称取试样0.1g和1g左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？
解：因分析天平的称量误差为?0.2mg。故读数的绝对误差?a??0.0002g 根据?r??a?100%可得 ??0.0002g?r0.1g??100%??0.2%
0.1000g?0.0002g?100%??0.02% ?r1g?1.0000g 这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，相对误差就比较小，测定的准确程度也就比较高。
3．滴定管的读数误差为±0.02mL。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL和20mL左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？
解：因滴定管的读数误差为?0.02mL，故读数的绝对误差?a??0.02mL 根据?r??a?100%可得 ??0.02mL?r2mL??100%??1%
2mL?0.02mL?100%??0.1% ?r20mL?20mL 这说明，量取两溶液的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，测量的相对误差较小，测定的准确程度也就较高。 4．下列数据各包括了几位有效数字？
（1）0.0330 (2) 10.030 (3) 0.01020 (4) 8.7×10-5 (5) pKa=4.74 (6) pH=10.00 答：（1）三位有效数字 （2）五位有效数字 （3）四位有效数字 （4） 两位有效数字
（5） 两位有效数字 （6）两位有效数字
5．将0.089g Mg2P2O7沉淀换算为MgO的质量，问计算时在下列换算因数（2MgO/Mg2P2O7）中取哪个数值较为合适：0.3623,0.362,0.36？计算结果应以几位有效数字报出。 答:：0.36 应以两位有效数字报出。
6．用返滴定法测定软锰矿中MnO2的质量分数，其结果按下式进行计算：
?MnO20.80005?8.00?0.1000?10?3?)?86.942?126.07?100%
0.5000(问测定结果应以几位有效数字报出？ 答:：应以四位有效数字报出。
7．用加热挥发法测定BaCl2·2H2O中结晶水的质量分数时，使用万分之一的分析天平称样0.5000g，问测定结果应以几位有效数字报出？
答:：应以四位有效数字报出。
8．两位分析者同时测定某一试样中硫的质量分数，称取试样均为3.5g，分别报告结果如下：
甲：0.042%,0.041%；乙：0.04099%,0.04201%。问哪一份报告是合理的，为什么？
答:：甲的报告合理。因为在称样时取了两位有效数字，所以计算结果应和称样时相同，都取两位有效数字。 9．标定浓度约为0.1mol·L-1的NaOH，欲消耗NaOH溶液20mL左右，应称取基准物质H2C2O4·2H2O多少克？其称量的相对误差能否达到0. 1%？若不能，可以用什么方法予以改善？若改用邻苯二甲酸氢钾为基准物，结果又如何？
解：根据方程2NaOH+H2C2O4·H2O==Na2C2O4+3H2O可知，
需H2C2O4·H2O的质量m1为：
0.1?0.020?126.07?0.13g 20.0002g?100%?0.15% 相对误差为 ?r1?0.13g m1? 则相对误差大于0.1% ，不能用H2C2O4·H2O标定0.1mol·L-1的NaOH ，可以选用相对分子质量大的作为基准物来标定。
若改用KHC8H4O4为基准物时，则有：
KHC8H4O4+ NaOH== KNaC8H4O4+H2O 需KHC8H4O4的质量为m2 ，则 m2? ?r20.1?0.020?204.22?0.41g 20.0002g??100%?0.049%
0.41g 相对误差小于0.1% ，可以用于标定NaOH。
10．有两位学生使用相同的分析仪器标定某溶液的浓度（mol·L-1），结果如下：
甲：0.12,0.12,0.12（相对平均偏差0.00%）；
乙：0.1243,0.1237,0.1240（相对平均偏差0.16%）。 你如何评价他们的实验结果的准确度和精密度？
答：乙的准确度和精密度都高。因为从两人的数据可知，他们是用分析天平取样。所以有效数字应取四位，而甲只取了两位。因此从表面上看甲的精密度高，但从分析结果的精密度考虑，应该是乙的实验结果的准确度和精密度都高。
11．当置信度为0.95时，测得Al2O3的μ置信区间为（35.21±0.10）%，其意义是（ ）
A. 在所测定的数据中有95%在此区间内；
B. 若再进行测定，将有95%的数据落入此区间内； C. 总体平均值μ落入此区间的概率为0.95； D. 在此区间内包含μ值的概率为0.95； 答：D
12. 衡量样本平均值的离散程度时，应采用（ ）
A. 标准偏差 B. 相对标准偏差 C. 极差
D. 平均值的标准偏差 答：D
13. 某人测定一个试样结果应为30.68%，相对标准偏差为0.5%。后来发现计算公式的分子误乘以2，因此正确的结果
应为15.34%，问正确的相对标准偏差应为多少？ 解：根据
Sr1?Sx??100%
S?100% 则S=0.1534%
30.68%S0.1534% 当正确结果为15.34%时， Sr2???100%??100%?1.0%
15.34%x 得 0.5%?14. 测定某铜矿试样，其中铜的质量分数为24.87%。24.93%和24.69%。真值为25.06%，计算：（1）测定结果的平均
值；（2）中位值；（3）绝对误差；（4）相对误差。 解：（1）x??24.87%?24.93%?24.69%?24.83%
3?（2）24.87%
（3）?a?x?T?24.83%?25.06%??0.23%
Ea?100%??0.92% T15. 测定铁矿石中铁的质量分数（以WFe2O3表示），5次结果分别为：67.48%，67.37%，67.47%，67.43%和67.40%。
（4）Er?计算：（1）平均偏差（2）相对平均偏差 （3）标准偏差；（4）相对标准偏差；（5）极差。 解：（1）x?67.48%?67.37%?67.47%?67.43%?67.40%?67.43%
5?10.05%?0.06%?0.04%?0.03%?0.04% d??|di|?n5?（2）dr??d0.04%?100%??100%?0.06% x67.43%?(0.05%)2?(0.06%)2?(0.04%)2?(0.03%)2??0.05% （3）S?n?15?1S0.05%（4）Sr???100%??100%?0.07%
67.43%x（5）Xm=X大-X小=67.48%-67.37%=0.11%
16. 某铁矿石中铁的质量分数为39.19%，若甲的测定结果（%）是：39.12，39.15，39.18；乙的测定结果（%）
为：39.19，39.24，39.28。试比较甲乙两人测定结果的准确度和精密度（精密度以标准偏差和相对标准偏差表示之）。 解：甲：x1???di2x39.12%?39.15%?39.18%?39.15% ?n?3? ?a1?x?T?39.15%?39.19%??0.04%
(0.03%)2?(0.03%)2??0.03% S1?n?13?1S10.03%?100%?0.08% Sr1???100%?39.15%xi?d2 乙：x2??39.19%?39.24%?39.28%?39.24%
3? ?a2?x?39.24%?39.19%?0.05%
(0.05%)2?(0.04%)2??0.05% S2?n?13?1S0.05%?100%?0.13% Sr2??2?100%?39.24%xi?d22 由上面|Ea1|<|Ea2|可知甲的准确度比乙高。 S1 综上所述，甲测定结果的准确度和精密度均比乙高。 2 17. 现有一组平行测定值，符合正态分布（μ=20.40，σ=0.042）。计算：（1）x=20.30和x=20.46时的u值；（2） 测定值在20.30 -20.46区间出现的概率。 解：（1）根据u? u1= x???得 20.30?20.4020.46?20.40??2.5 u2??1.5 0.040.04（2）u1=-2.5 u2=1.5 . 由表3—1查得相应的概率为0.4938，0.4332 则 P(20.30≤x≤20.46)=0.4938+0.4332=0.9270 18. 已知某金矿中金含量的标准值为12.2g?t-1（克·吨-1），δ=0.2，求测定结果大于11.6的概率。 解： u? 查表3-1，P=0.4987 故，测定结果大于11.6g·t-1的概率为： 0.4987+0.5000=0.9987 19. 对某标样中铜的质量分数（%）进行了150次测定，已知测定结果符合正态分布N（43.15，0.232）。求测定 结果大于43.59%时可能出现的次数。 解： u?x??11.6?12.2??3 = ?0.2x???= 43.59?43.15?1.9 0.23 查表3-1，P=0.4713 故在150次测定中大于43.59%出现的概率为： 0.5000-0.4713=0.0287 4 因此可能出现的次数为 150?0.0287?（次） 20. 测定钢中铬的质量分数，5次测定结果的平均值为1.13%，标准偏差为0.022%。计算：（1）平均值的标准偏 差；（2）μ的置信区间；（3）如使μ的置信区间为1.13% ±0.01%，问至少应平行测定多少次？置信度均为0.95。 解：（1） ???x?n?0.022%5?0.01% ? （2）已知P=0.95时，u??1.96，根据 ??x?u?? x 得??1.13%?1.96?0.01%?1.13%?0.02% 钢中铬的质量分数的置信区间为1.13%?0.02% （3）根据??x?tp,fs??x?tp,fx??sn 得x????tp,f?sn??0.01% tn?0.01%?0.5 0.022%2.0921?0.5 已知s?0.022% ， 故 查表3-2得知，当f?n?1?20 时，t0.95,20?2.09 此时 即至少应平行测定21次，才能满足题中的要求。 21. 测定试样中蛋白质的质量分数（%），5次测定结果的平均值为：34.92，35.11，35.01，35.19和34.98。（1）经统计处理后的测定结果应如何表示（报告n，x和s）？（2）计算P=0.95时μ的置信区间。 解：（1）n=5 x???x34.92%?35.11%?35.01%?35.19%?34.98%??35.04% n52is??d0.122?0.072?0.032?0.152?0.062??0.11% n?15?1?经统计处理后的测定结果应表示为：n=5, x?35.04%, s=0.11% （2）x?35.04%, s=0.11% 查表t0.95,4=2.78 ?
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