数列
一、等差数列
题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)。
例：等差数列an?2n?1，an?an?1? 题型二、等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d；
说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d?0为递增数列，d?0为常数列，d?0 为递减数列。
，则a12等于（ ） 例：1.已知等差数列?an?中，a7?a9?16，a4?1A．15 B．30 C．31 D．64
2.{an}是首项a1?1，公差d?3的等差数列，如果an?2005，则序号n等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670
3.等差数列an?2n?1,bn??2n?1，则an为 bn为 （填“递增数列”或“递减数列”）
题型三、等差中项的概念：
定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A? a，A，b成等差数列?A?a?b 2a?b 即：2an?1?an?an?2 （2an?an?m?an?m） 2例：1．设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a11?a12?a13? （ ）
A．120 B．105 C．90 D．75
2.设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A．1 B.2 C.4 D.8
题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列?an?中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列?an?中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?an?am(m?n)；
n?m（4）在等差数列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，则am?an?ap?aq； 题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn?2(Sn?An?Bnn(a1?an)n(n?1)1d（a1?）n。?na1?d?n2?2222(A,B为常数)??an?是等差数列 )
递推公式：Sn?
(a1?an)n(am?an?(m?1))n? 22例：1.如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7?
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2.设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 3.已知?an?数列是等差数列，a10?10，其前10项的和S10?70，则其公差d等于( )
A．?23121B．? C. D.
3334.在等差数列?an?中，a1?a9?10，则a5的值为（ ）
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10
5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 6.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11? 7.设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?5a3则
S9? S58. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9=
9.设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则an?
10．已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.，则bn= 11．设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛和，求Tn。
12.等差数列?an?的前n项和记为Sn，已知a10?30，a20?50①求通项an；②若Sn=242，求n
13.在等差数列{an}中，（1）已知S8?48,S12?168,求a1和d；（2）已知a6?10,S5?5,求a8和S8； (3)已知a3?a15?40,求S17
题型六.对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶?S奇?nd； ②
Sn｝的前n项nS奇a?n； S偶an?1（2）若项数为奇数，设共有2n?1项，则①S奇?S偶?an?a中；②题型七.对与一个等差数列，Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍成等差数列。
S奇n。 ?S偶n?1
例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
2.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 。
3．已知等差数列?an?的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设Sn为等差数列?an?的前n项和，S4?14，S10?S7?30，则S9= 5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若
S31S＝，则6＝ S63S12D．
A．
113 B． C．
38101 9
题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
?①定义法：an?1?an?d(常数）（n?N）??an?是等差数列
②中项法：2an?1?an?an?2③通项公式法：an?kn?b例：1.已知数列{an}满足an?an?1（n?N?)??an?是等差数列
(k,b为常数)??an?是等差数列 (A,B为常数)??an?是等差数列
?2，则数列{an}为 （ ）
2④前n项和公式法：Sn?An?BnA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列{an}的通项为an?2n?5，则数列{an}为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
23.已知一个数列{an}的前n项和sn?2n?4，则数列{an}为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
24.已知一个数列{an}的前n项和sn?2n，则数列{an}为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.已知一个数列{an}满足an?2?2an?1?an?0，则数列{an}为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2
6．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n，则{an}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
?7.数列?an?满足a1=8，a4?2，且an?2?2an?1?an?0 （n?N）
①求数列?an?的通项公式；
题型九.数列最值
（1）a1?0，d?0时，Sn有最大值；a1?0，d?0时，Sn有最小值；
2（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Sn?an?bn的最值；
可用二次函数最值的求法（n?N?）；②或者求出?an?中的正、负分界项，即： 若已知an，则Sn最值时n的值（n?N?）可如下确定?*
?an?0?an?0或?。
?an?1?0?an?1?01.设｛an｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ） ．．
A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5
D.S6与
S7均为Sn的最大值
2．等差数列?an?中，a1?0，S9?S12，则前 项的和最大。 3．已知数列?an?的通项
n?98n?99（n?N?），则数列?an?的前30项中最大项和最小项分别是
4．设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知 a3?12，S12?0，S13?0
①求出公差d的范围，
?，S12中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出S1，S2，
5.已知{an}是等差数列，其中a1?31，公差d??8。
（1）数列{an}从哪一项开始小于0？
（2）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值．
6.已知{an}是各项不为零的等差数列，其中a1?0，公差d?0，若S10?0,求数列{an}前n项和的最大值．
7.在等差数列{an}中，a1?25，S17?S9，求Sn的最大值．
(n?1)?S1题型十.利用an??求通项．
S?S(n?2)n?1?n1.设数列{an}的前n项和Sn?n2，则a8的值为（ ）
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
22．已知数列?an?的前n项和Sn?n?4n?1，则
23.数列{an}的前n项和Sn?n?1．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{an}是等差数列吗？（3）你能写出数
列{an}的通项公式吗？
4.已知数列?an?中，a1?3，前n和Sn?①求证：数列?an?是等差数列 ②求数列?an?的通项公式
1(n?1)(an?1)?1 2等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数．．．．．．列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，即：an?1：an?q(q?0)。
一、递推关系与通项公式
递推关系：an?1?anq 通项公式：an?a1?qn?1 推广：an?am?qn?m
1.等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
2.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1?3，前三项和为21，则a3?a4?a5?（ ）
A 33 B 72 C 84 D 189
3.在等比数列?an?中,a1?4,q?2，则an? 4.在等比数列?an?中,a7?12,q?32,则a19?_____. 5.在等比数列?an?中，a2??2，a5?54，则a8=
二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b??ac，注：b?ac是成等比数列的必要而不充分条件.
1.2?3和2?3的等比中项为( )
2(A)1 (B)?1 (C)?1 (D)2
2.设?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn=（ ）
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