§4.3 三角函数的图像与性质
最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴考情考向分析 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题?ππ?的交点等)，理解正切函数在区间?－，??22?型既有选择题和填空题，又有解答题，中档内的单调性. 难度.
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
?π?(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，?，1?，(π，?2?
0)，?
?3π，－1?，(2π，0)．
?
?2?
?π?(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，?，0?，(π，
?2?
－1)，?
?3π，0?，(2π，1)．
??2?
函数 2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R {x|x∈R，且x≠kπ＋π} 2R 值域 [－1,1] [－1,1] 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴方程
知识拓展 1．对称与周期
2π 奇函数 2π 偶函数 π 奇函数 ?2kπ－π，2kπ＋π? [2kπ－π，2kπ] ?22????2kπ＋π，2kπ＋3π? [2kπ，2kπ＋π] ?22???(kπ，0) ?kπ－π，kπ＋π? ?22???无 ?kπ＋π，0? ??2??x＝kπ ?kπ，0? ?2???无 x＝kπ＋ π2(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对1
称中心与对称轴之间的距离是个周期．
4
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
π
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
2(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sin x在第一、第四象限上是增函数．( × )
π2π?π2π?(2)由sin?＋?＝sin知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．( × )
3?63?6(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × ) (5)y＝sin|x|是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编
π??2．函数f(x)＝cos?2x＋?的最小正周期是 ．
4??答案 π
π???π?3．y＝3sin?2x－?在区间?0，?上的值域是 ． 6?2???
?3?答案 ?－，3?
?2?
π?π5π??π?解析 当x∈?0，?时，2x－∈?－，?，
2?6?6?6?π??1??sin?2x－?∈?－，1?，
6??2??π??3??故3sin?2x－?∈?－，3?，
6??2??π???3?即y＝3sin?2x－?的值域为?－，3?.
6???2?4．y＝tan 2x的定义域是 ．
???kππ
答案 ?x?x≠＋，k∈Z
24???
??
? ??
πkππ
解析 由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
224
???kππ
∴y＝tan 2x的定义域是?x?x≠＋，k∈Z
24???
??
?. ??
题组三 易错自纠
π
5．下列函数中最小正周期为π且图像关于直线x＝对称的是( )
3π??A．y＝2sin?2x＋? 3??
π??B．y＝2sin?2x－?
6??π??D．y＝2sin?2x－? 3??
?xπ?C．y＝2sin?＋?
?23?
答案 B
π?2π?解析 函数y＝2sin?2x－?的周期T＝＝π， 6?2?
?ππ?又sin?2×－?＝1，
36??
π?π?∴函数y＝2sin?2x－?的图像关于直线x＝对称．
6?3?6．函数f(x)＝4sin?
?π－2x?的递减区间是 ．
?
?3?
?
π5??答案 ?kπ－，kπ＋π?(k∈Z) 1212
?
π??π??解析 f(x)＝4sin?－2x?＝－4sin?2x－?.
3??3??
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