则DF?BF?FA，故?BDA?90?，
又平面ABCD?平面AEB，且平面ABCDI平面ABE?AB，
BC?AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ABE，又AE?平面ABE，∴BC⊥AE.
又AE?BE，BCIBE?B，∴AE⊥平面BCE，又AE?平面ADE， ∴平面ADE?平面BCE. （2）存在点P，且
EP1?时，有EC//平面PBD， EA3连结AC交BD于Q，由CD//AB知
CQCD1??， QAAB2又
EP1CQ??，故CE//PQ，又CE?平面PBD，PQ?平面PBD， PA2QA∴CE//平面PBD.
2．【四川省威远中学2020届高三上学期第一次月考】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.
(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO； (2)求三棱锥P－ABC体积的最大值； (3)若
，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
(1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO.
又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC. 因为DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.
(2)解：因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1. 又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为
.
又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1， 故三棱锥P－ABC体积的最大值为
.
(3)解：
在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°， 所以同理
.
，所以PB＝PC＝BC.
在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示． 当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值． 又因为OP＝OB，从而
，所以
垂直平分PB，即E为PB的中点． ，
即CE＋OE的最小值为.
3．【2019年山西重点中学协作体高三暑假联考】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
AD?DC?CB?1，ABC?60?，四边形ACFE为矩形，平面ACFE?平面ABCD，CF?1.
（1）求证：BC⊥平面ACFE； （2）求多面体ABCDEF的体积. 【答案】(1) 见解析(2) 【解析】
（1）在梯形ABCD中，
∵ABPCD，AD?DC?CB?1，?ABC?60?，
∴AB?2，∴AC2?AB2?BC2? 2AB?BC?cos60??3， ∴AB2?AC2?BC2，∴BC?AC.
又平面ACFE?平面ABCD，平面ACFE?平面ABCD?AC，BC?平面ABCD， ∴BC?平面ACFE.
3 2
（2）取AC的中点H，连接DH，由题意知DH?AC， ∴DH?平面ACFE，且DH?，
11?3. ?1?1?3??DH?BC??S矩形ACFE? 1???33?2?212故V多面体ABCDEF?VB?ACFE?VD?ACFE ?4．【2020年四川省雅安市雨城区雅安中学高三上学期开学摸底】如图，已知多面体ABCDEF中，平面ADE?平面ABCD，ABPCDPEF，AD:EF:CD?2:3:4. ?ABD、?ADE均为正三角形，（Ⅰ）求证：BD?平面BFC； （Ⅱ）若AD?2，求该多面体的体积.
【答案】（1）见解析（2）【解析】
9 2（Ⅰ）因为AB//CD，所以?ADC?120?，?ABD为正三角形，所以?BDC?60?. 设AD?a，因为AD:CD?2:4?1:2，所以CD?2a， 在?BDC中，由余弦定理，得
BC?a2?4a2?2a?2acos60??3a，
所以BD2?BC2?CD2，所以BD?BC.
取AD的中点O，连接EO，因为?ADE为正三角形，所以EO?AD， 因为平面ADE?平面ABCD，所以EO?平面ABCD. 取BC的中点G，连接FG，OG，则OG?平行四边形，
所以FG//EO，所以FG?平面ABCD，所以FG?BD. 因为FG?BC?G，所以BD?平面BFC.
AB?CD?EF，且EF//OG，所以四边形OEFG为2
（Ⅱ）过G作直线MN//AD，延长AB与MN交于点M，MN与CD交于点N，连接FM，FN. 因为G为BC的中点，所以MG?OA且MG//OA，所以四边形AOGM为平行四边形，所以
AM?OG.
同理DN?OG，所以AM?OG?DN?EF?3.
又AB//CD，所以AM//DN，所以AM//DN//EF，所以多面体MNF?ADE为三棱柱. 过M作MH?AD于H点，因为平面ADE?平面ABCD，所以MH?平面ADE，
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