所以线段MH的长即三棱柱MNF?ADE的高，在?AMH中，MH?AMsin60??33， 2所以三棱柱MNF?ADE的体积为
32339?2??. 422因为三棱锥F?BMG与F?CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为
9. 25．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】如图所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，?CBB1?60,A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O ．
o
（1） 证明：B1C?AB； （2） 若AC?AB1，且三棱柱ABC?A1B1C1的体积为3，求三棱柱ABC?A1B1C1的高.
821. 7【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
（1）连接BC1，因为侧面BB1C1C为菱形，
所以B1C?BC1，且B1C与BC1相交于点O， 因为AO?平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，
所以B1C?AO，又B1C?AO?O，所以B1C?平面ABO，
因为ABì平面ABO，所以B1C?（2）由ACAB.
12?AB1且AO垂直平分B1C可知?ACB1是等腰直角三角形，则AO?B1C，
13333 B1C2·AO?B1C3?488又VABC?A1B1C1?3VB1?ABC?3VA?B1BC?3?S?B1BC?AO?得B1C?1?BC?B1B.
2?3?131??AO?，且等边?BCB1中，BO?，故Rt?AOB中，AB???????1
22?2??2?2又AC?214，易求得等腰?ABC中AC边上的高为， 2412147， ???2248213. 有h?78则S?ABC?由VABC?ABC?S?ABC·h?116．【湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期月考（二)】如图，在五面体ABCDFE中，侧面ABCD是正方形，?ABE是等腰直角三角形，点O是正方形ABCD对角线的交点EA?EB，
AD?2EF?6且EF//AD.
（1）证明：OF//平面ABE；
（2）若侧面ABCD与底面ABE垂直，求五面体ABCDFE的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）45. 【解析】
（1）取AB的中点M，连接OM、EM，
Q侧面ABCD为正方形，且ACIBD?O，?O为AC的中点，
又QM为AB的中点，?OM//BC且OM?1BC， 2
QEF//BC且EF?BC，?OM//EF，所以，四边形OFEM为平行四边形，?OF//EM. QOF?平面ABE，EM?平面ABE，?OF//平面ABE；
12
（2）取AD的中点G，BC的中点H，连接GH、FG、FH，
Q四边形ABCD为正方形，?AD?AB.
Q平面ABCD?平面ABE，平面ABCDI平面ABE?AB，AD?平面ABCD，
?AD?底面ABE，
易知EF?3，AE?BE?32，S?ABE1??322??2?9，
VABE?GHF?S?ABE?EF?9?3?27，
QM为AB中点，EA?EB，?EM?AB，
QAD?平面ABE，EM?平面ABE，?EM?AD，
QABIAD?A，AB、AD?平面ABCD，?EM?平面ABCD.
QOF//EM，?OF?平面ABCD，且OF?EM?3，
1?VF?CDGH??6?3?3?18，因此，V五面体ABCDFE?27?18?45.
37．【江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试】如图，已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，
AB?AC，AB?AC?AA1?2，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F?2FE.
（Ⅰ）证明：AF?平面A1BC；
（Ⅱ）求三棱锥C1?A1FC的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】
（Ⅰ）连接AE,AF，在?ABC中，依题意?ABC为等腰三角形且AE?BC， 由面积相等
4. 911AB?AC?BC?AE，解得AE?2， 22由于三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，故AA1?⊥面ABC, 那么AA1?AE，AA1?BC.
在直角三角形A1AE中，因为AA?2，AE?2，
所以AE?6， 22?(2)2?6，又由A1F?2FE，所以EF?3又因
AEA1E?，故?AFE为直角，即AF?A1E， EFAE又由AE?BC,AA1?BC,AA1IAE?A，所以得BC?面A1AE，所以BC?AF, 由AF?A1E,AF?BC,BCIAE?E, 故AF?面A1BC.
（Ⅱ）过E作ED?AC，连接AD,交AC于点D，过F作FG//ED,交AD于点G， 因为AA1?面ABC，所以AA1?ED,
又因ED?AC,AC?AA1?A,所以ED?面AA1C,所以FG?面AA1C，
22121ED??AB?，所以S?A1CC1??2?2?2， 332321124所以VC1?A1FC?S?A1CC1?FG???2?.
3339又由FG?
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