专题四：立体几何 第三讲 空间向量与立体几何
【最新考纲透析】
1．空间向量及其运算
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 2．空间向量的应用
（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。
（2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。 （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。
（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 【核心要点突破】
要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系
考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。
2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。
考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。
2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。
例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥
AB，EF?FB，AB?2EF，?BFC?90?，BF?FC，H为BC的中点。
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC?平面EDB； (3)求二面角B?DE?C的大小。
【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。
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【规范解答】
?四边形ABCD为正方形，?AB?BC,又?EF?FB,EF//AB,?AB?FB,且BC?FB?B，?AB?平面FBC,?AB?FH,又BF?FC,H为BC中点，?FH?BC,且AB?BC?B,?FH?平面ABC.
????????????如图，以H为坐标原点，分别以HB、GH、HF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，
E D Z F C 令BH?1,则A(1,?2,0),B(1,0,0),C(?1,0,0),D(?1,?2,0),E(0,?1,1),F(0,0,1).
(1)
G A X B H Y
???设AC与BD的交点为G，连接GE、GH,则G（0,-1,0），?GE?(0,0,1),???????????又?HF?(0,0,1),?GE//HF GE?平面EDB,HF?平面EDB,?HF//平面EDB???????????????AC?(?2,2,0),GE?(0,0,1),?AC?GE?0,?AC?GE.(2)
又AC?BD,且GE?BD=G，?AC?平面EBD.
(3)
???设平面BDE的法向量为n1?(1,y1,z1),?????????BE?(?1,?1,1),BD?(?2,?2,0).???????? ?BE?n1?0??1?y1?z1?0由????,即?，得y1??1，z1?0,?????2?2y?01??BD?n1?0?????n1?（，1?1,0）???设平面CDE的法向量为n2?(1,y2,z2),?????????CD?(0,?2,0),CE?(1,?1,1).???????? y2?0?CD?n2?0?由????,即?，得y2?0，z2??1,????1?y?z?022??CE?n2?0?????n2?（，10,-1）??????????n?n211???cos?n1,n2????1???,|n1||n2|222
???????n1,n2??60?,即二面角B-DE-C为60?。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；
2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；
3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。
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4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。
要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角
考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。 2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。
考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角
设分别为异面直线（2）线面角
的方向向量，则
?设是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则
2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：
（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。
例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ19）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，
（I） （II）
【规范解答】
设PA＝1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, （I）
1AB，N为2?????????SN的数量积，写出答案； 计算CM、求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。
111)，N(,0,0)，S(1,,0) 222第 3 页 共 10 页
??????1???11CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),222?????????11因为CM?SN????0?022所以CM?SN????1(II)NC?(?,1,0),2?设a?(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，z?x?y??0???2则?令x?2,得a?(2,1,?2)1??x?y?0??21?????2?2因为|cos?a SN?|=223?2所SN与平面CMN所成的角为45o-1-
【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。
（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。
（3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，
要取绝对值。
要点考向3：利用空间向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。 2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。
考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
其计算公式为：设
分别为平面
的法向量，则?与
互补或相等，
例3：（2010·天津高考理科·Ｔ１9）
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC,CC1 上的点，CF?AB?2CE,AB:AD:AA1?1:2:4 （1） 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
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