绝密★启用前 试卷类型：（A）
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试
数 学（文科）
本试卷共 23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
2020．3
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A ? {1，2，3，4，5} ， B ? {0，2，4，6} ，则集合 A 1．已知集合
B 的子集共有
D． 8 个
A． 2 个
B． 4 个 C． 6 个
2．若复数 z ?
A． 2
a ? 2i
的实部为0 ，其中a 为实数，则| z |??1 ? i
B． 2
C．1
2D． 2
3．已知向量OA ? (?1, k ) ， OB ? (1, 2) ， OC ? (k ? 2, 0) ，且实数 k ? 0 ,若 A 、 B 、C 三点共线，则k ??
?
A． 0 B．1 C． 2 D． 3
?
4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ，13 ， 21， 34 ， 55 ， 89 ，144 ……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 an ? an?1 ? an?2 (n ? 3, n ? Ν? ) ，其中 a1 ?1 ，
a2 ? 1 .若从该数列的前100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为
1A．
3
33 B． 100
1C． 2
67 D． 100
5．设a ? 0.3 2 ， b ? ( 2)0.3 ， c ? log 0.3 2 ，则下列正确的是
A． a ? b ? c
B． a ? c ? b
C． c ? a ? b
D． b ? a ? c
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.6如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6 名队员某场比赛的得分数据（单位：分）． 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值为
A． 2 和6
B． 4 和6 C． 2 和7 D． 4 和7
.7
2 ? 2 ? （ a ? 0 ， b ? 0 ）的焦距为 若双曲线 x y
b曲线的方程为
a
2
2 1 2
5
，且渐近线经过点(1, ?2) ，则此双
x2 2A． ? y ? 1
4 y2
B． x ? ? 1
4
2 2 2 xyC． ? ? 1 4 16 2 2 xyD． ? ? 1 16 4
.8
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为
A．12
B．16
C． 24
D． 32
.9
π
已知函数 f (x) ? Asin(x ? ) ? b(A ? 0) 的最大值、
3
最小值分别为3 和?1，关于函数 f (x) 有如下四个结论： b ? 1 ； ① A ? 2， ②函数 f (x) 的图象C 关于直线 x ??
5π
对称； 6
2π
③函数 f (x) 的图象C 关于点( ,0) 对称；
3
π 5π
④函数 f (x) 在区间( , ) 内是减函数．
6 6
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其中，正确的结论个数是
A．1
B． 2 C． 3 D． 4
.01
函数 f (x) ? cos x ? ln( x2 ?1 ? x) 的图象大致为
y
y ??-π 1
1 π x
-π ? ?1 . π x ?1
A. y
B . y ??-π 1 1 π x
-π ? ?1 D . π x
?1
C .
.1
已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ， ?ABC ? 90? ， AB ? BC ? AA1 ? 2 ， BB1 和 B1C1 的中点分别为 E 、 F ，则 AE 与CF 夹角的余弦值为
A．
3
5
B．
2
5
C．
4
5
D．
15 5
.21
x
函数 f (x) 是定义在(0, ??) 上的可导函数，f ?(x) 为其导函数，若 xf ?(x) ? f (x) ? (1? x)e，
且 f (2) ? 0 ，则 f (x) ? 0 的解集为
(0, 1) A． (0, 2) B． (1, 2) C． (1, 4) D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
π1
13．若sin(? ? ) ? ，则sin 2? ?
4 3
14 .
.
在?ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若(a ? b)(sin A ? sin B) ? (a ? c) sin C ， b ? 2 ，则?ABC 的外接圆面积为 .
.
15 .
已知一圆柱内接于一个半径为 3 的球内，则该圆柱的最大体积为
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16.
x2 y2 F F设椭圆C : 2 ? 2 ?1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 O 为坐 1 、 2 ，其焦距为 2c ，ab标原点，点 P 满足 OP ? 2a ,点 A 是椭圆C 上的动点，且 PA ? AF1 ? 3 F1F2 恒成立， 则椭圆C 离心率的取值范围是
.
三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）
已知数列{an } ， a1 ? 4 ， (n ?1)an?1 ? nan ? 4(n ?1) (n ? N) .
（1） 求数列{an }的通项公式；
? ? （2） 若b n
1
a ? a n n?1
}前n 项和为T ，求数列{b . n n
18．（本小题满分 12 分）
某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y （单位：万件）与月销售单价 x （ 单位：元/ 件） 之间的关系，对近 6 个月的月销售量 yi 和月销售单价 xi
(i ?1, 2,3, ,6) 数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价 x（元/件） 月销售量 y （万件） 4 89 5 83 6 82 7 79 8 74 9 67 （1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回
? ? ?4x ?105 ， ? ? ?3x ?104 ，其中有且仅有一位实习y? ? 4x ? 53 和 yy归直线方程分别为：
员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确 的，并说明理由；
2 ）若用 y ? ax 2 ? bx ? c 模型拟合 y 与 x 之间 的关 系， 可得回归 方程 为 （ y? ? ?0.375x2 ? 0.875x ? 90.25 ，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 R2
分别为 0.9702 和 0.9524 ，请用 R2 说明哪个回归模型的拟合效果更好 ；
（3）已知该商品的月销售额为 z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）
参考数据： 6547 ? 80.91.
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19．（本小题满分 12 分）
CD 的中点，将?ADF 如图，四边形 ABCD 为长方形，AB ? 2BC ? 4 ，E 、F 分别为 AB 、沿 AF 折到?AD?F 的位置，将?BCE 沿 CE 折到?B?CE 的位置，使得平面 AD?F ? 底面AECF ，平面 B?CE ? 底面 AECF ，连接 B?D? .
（1） 求证： B?D? / / 平面 AECF ； （2） 求三棱锥 B? ?AD?F 的体积.
20．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，过点 F (2,0) 的动圆恒与 y 轴相切, FP 为该圆的直径，设点 P 的轨迹为曲线C .
（1） 求曲线C 的方程；
（2） 过点 A(2,4) 的任意直线l 与曲线C 交于点 M , B 为 AM 的中点，过点 B 作 x 轴的
平行线交曲线C 于点 D , B 关于点 D 的对称点为 N ，除 M 以外，直线 MN 与C 是否有其它公共点？说明理由.
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ? x? ? ? x ?1?ln x ? ax2 ? ?1? a? x ?1.
（1） 当a ? ?1时，判断函数的单调性；
零点的个数. x? （2） 讨论 f ?
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（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 ??x ? ?2 ? t cos? ,
xOy 中，直线C 的参数方程为t 为参数，? 为倾斜 在直角坐标系 （ 3
?1
?? y ? t sin ? , ?
角），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为
? ? 4 sin ? ．
（1） 求C2 的直角坐标方程；
（2） 直线C1 与C2 相交于 E, F 两个不同的点，点 P 的极坐标为(2 3, π) ，若
2 EF ? PE ? PF ，求直线C1 的普通方程．
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知a, b, c 为正数，且满足a ? b ? c ? 1. 证明：
（1） ? ? ? 9 ；
1 1 1
a b c
ac ? bc ? ab ? abc ? . （2）
27
8
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