正方形2

八升九预习---正方形

知识点：

正方形性质与判定

正方形的定义： .

正方形的性质： （边） （角）

（对角线） （对称性）

课前热身：

1. 下列说法不正确．．．

的是 （ ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 2. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝ ° 3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论： （1）∠E=22.5°； (2) ∠AFC=112.5°； (3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶2. 其中正确的有（ ）

A．5个 B.4个 C.3个 D.2个 4. 如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝ °；∠ACE＝ °.

第2题图 第3题图 第4题图 典型例题：

例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求

?AFD的度数。

例2：P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.

例3、如图正方形ABCD的边长为12cm，E、P、F三点分别在AB、BC、CD上，且 AP⊥EF，BP=5cm。求EF。

A D

F

E B P C

例4、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE.求证：AF=AB+FC。

例5、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合）， 2、若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线点E在射线BC上，且PE=PB.求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；

A D P

B E

C

【课堂检测】

1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则?AFD= 。

BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为 。

3.正方形的面积是

13，则其对角线长是________. 4.如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.

5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．

正方形的判定方法：

1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 3：一组邻边相等的矩形是正方形

4：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

典型例题

例1、已知Rt?ABC中，?C?90?，CD平分?ACB,交AB于D，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF为正方形。

例2、E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF?CD,EG?AD,垂足分别为F、G，求证：BE=FG。

例3：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

M A E N

B

D

C

综合练习

1、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B.AB∥CD，AC=BD C.AD∥BC，∠A=∠C D.OA=OC，OB=OD，AB=BC

2、如图，正方形ABCD的面积为12，△ADE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值为 .

3、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线

上的点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若?AED?2?EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

E

A

D 6、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

O B

C

4、已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O ,若E是AC上的一点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证OE=OF 。

A D

O F E

B G C 5、如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线上，M为线段AE的中点。探究：线段MD、MF的关系。