选修4－5 不等式选讲
第1课时 绝对值不等式(理科专用)
1. 解不等式：|2x－1|＜3.
解：|2x－1|＜3－3＜2x－1＜3－1＜x＜2.
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2. 若关于x的不等式|x＋1|－|x－2| 解：∵ ||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴ －3≤|x＋1|－|x－2|≤3.由不22 等式a－4a>|x＋1|－|x－2|有实数解，知a－4a>－3，解得a>3或a<1. 3. 不等式|2－x|＋|x＋1|≤a对于任意x∈[0，5]恒成立的实数a的集合是多少？ 解：当x∈[0，2]时，|2－x|＋|x＋1|＝2－x＋x＋1＝3，当x∈[2，5]时，|2－x|＋|x＋1|＝x－2＋x＋1＝2x－1≤9，综上可得|2－x|＋|x＋1|≤9，∴ a≥9. 4. 解不等式：|2x＋1|－|x－4|<2. 解：① 当x≥4时，2x＋1－(x－4)<2，∴ x∈； 115 ② 当－≤x<4时，2x＋1＋x－4<2，∴ －≤x<； 22311 ③ 当x<－时，－2x－1＋x－4<2.∴ －7 22 5??综上，该不等式的解集为?－7，?. 3?? 5. (2014·南通一模)已知：a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m－n|， 所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|. 又a≥2，故|2a－1|≥3.所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3. 2 6. 若对任意x∈R，|2－x|＋|3＋x|≥a－4a恒成立，求实数a的取值范围． 22 解：|2－x|＋|3＋x|≥5，要|2－x|＋|3＋x|≥a－4a恒成立，即5≥a－4a，解得－1≤a≤5. 2 7. 设a∈R，函数f(x)＝ax＋x－a(－1≤x≤1)． 5 (1) 若|a|≤1，求证：|f(x)|≤； 417 (2) 求使函数f(x)最大值为时a的值． 8 222 (1) 证明：∵ |x|≤1，|a|≤1，∴ |f(x)|＝|a(x－1)＋x|≤|a(x－1)|＋|x|＝|a|·|x 1?255?222 －1|＋|x|≤|x－1|＋|x|＝|1－x|＋|x|＝1－|x|＋|x|＝－?|x|－?＋≤. 2?44? (2) 解：当a＝0时，f(x)＝x(－1≤x≤1)的最大值是f(1)＝1，从而a≠0，故知f(x)是二次函数．∵ f(±1)＝±1， 1 －1<－<1， 2a172 ∴ f(x)＝ax＋x－a(－1≤x≤1)有最大值即 8117??f?－?＝，?2a?8 1a<－， 2 ∴ a＝－2. 1??（a＋2）?a＋?＝0，?8? 8. 已知函数f(x)＝|x－a|－2|x－1|(a∈R)． ????? ?? ??? (1) 当a＝3时，求函数f(x)的最大值； (2) 解关于x的不等式f(x)≥0. 解：(1) 当a＝3时，f(x)＝|x－3|－2|x－1| ?－x－1，x≥3， ? ＝?－3x＋5，1 所以，当x＝1时，函数f(x)取得最大值2. (2) 由f(x)≥0得|x－a|≥2|x－1|， 22 两边平方得(x－a)≥4(x－1)， 22 即3x＋2(a－4)x＋4－a≤0， 得[x－(2－a)][3x－(2＋a)]≤0， 2＋a??所以，①当a>1时，不等式的解集为?2－a，； 3??? ② 当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}； ?2＋a，2－a?. ③ 当a<1时，不等式的解集为?? ?3? 9. 设函数f(x)＝|x－2a|，a∈R. (1) 若不等式f(x)<1的解集为{x|1 ??2a－1＝1， 解：(1) 由题意可得|x－2a|<1可化为2a－1 ?2a＋1＝3，? ??2x－2a，x≥2a， (2) 令g(x)＝f(x)＋x＝|x－2a|＋x＝? ?2a，x<2a，? 所以函数g(x)＝f(x)＋x的最小值为2a， 3 根据题意可得2a<3，即a<， 23??所以a的取值范围为?－∞，?. 2?? 10. 已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1) 当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)； (2) 若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围． 122 解：(1) |x＋1|≥2|x|x＋2x＋1≥4x－≤x≤1， 3 ?1?∴ 解集为?－，1?. ?3? (2) ∵ 存在x∈R，使|x＋1|≥2|x|＋a， ∴ 存在x∈R，使|x＋1|－2|x|≥a. 令φ(x)＝|x＋1|－2|x|，即有a≤φ(x)max， ?1－x，x≥0， ? φ(x)＝?3x＋1，－1≤x<0， ??x－1，x<－1. 当x≥0时，y≤1；当－1≤x<0时，－2≤y<1； 当x<－1时，y<－2. 综上可得φ(x)≤1，∴ a≤1. 即a的取值范围是(－∞，1]． 11. 已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)． (1) 当m＝5时，求函数f(x)的定义域； (2) 若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R，求m的取值范围． ??x≥2，?解：(1) 由题设知|x＋1|＋|x－2|＞5, 不等式的解集是三个不等式组： ?x＋1＋x－2＞5? ???－1≤x<2，?x<－1，?或或?解集的并集，解得函数f(x)的定义域为(－∞，－?x＋1－x＋2＞5??－x－1－x＋2＞5? 2)∪(3，＋∞)． (2) 不等式f(x)≥1即|x＋1|＋|x－2|＞m＋2.∵ x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，要使不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2的解集是R，∴ m＋2≤3，∴ m的取 值范围是(－∞，1]． 第2课时 不等式证明的基本方法(理科专用) 1. 求不等式|x＋1|＋|x－2|>5的解集． ????x<－1，?－1≤x≤2，?x>2，??解：不等式等价于或或?解得x∈(－?－x－1＋2－x>5，??x＋1＋2－x>5，??x＋1＋x－2>5，? ∞，－2)∪(3，＋∞)． 2. (2014·镇江期末)已知正数a、b、c满足abc＝1，求(a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值． 333解：∵ (a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)≥3·a·3·b·3·c3 ＝27·abc＝27，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立． ∴(a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值为27. 19＋ 3. 已知x、y∈R，且＋＝1，求x＋y的最小值． xy19＋ 解：已知x、y∈R，且＋＝1，有 xy y9xy9x?19?y9x x＋y＝(x＋y)?＋?＝＋＋10≥2·＋10＝16，当且仅当＝即x＝4、y＝12 xyxy?xy?xy 时，取“＝”． ∴ x＋y的最小值为16. 22 4. 已知x＋y＝1，求3x＋4y的最大值． 22 解：(换元法)由x＋y＝1，可设x＝cosα，y＝sinα， 22 则3x＋4y＝3cosα＋4sinα＝3＋4cos(α－φ)≤5， 34 其中cosφ＝，sinφ＝，∴ (3x＋4y)max＝5. 55 1111 5. 设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1. 2n＋1n＋22n 111 证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1，2，…，n)，得≤＜. 2nn＋kn 111111 当k＝1时，≤＜；当k＝2时，≤＜；… 2nn＋1n2nn＋2n111 当k＝n时，≤＜， 2nn＋nn 1n111n∴ ＝≤＋＋…＋＜＝1. 22nn＋1n＋22nn 6. 已知a、b、c为正数，且满足acosθ＋bsinθ 1 22222 证明：由柯西不等式可得acosθ＋bsinθ≤[(acosθ)＋(bsinθ)]2(cosθ＋ 2 2 2 2 11 22 sinθ)2＝(acosθ＋bsinθ)2 2 bca 7. 已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥c abcbc 证明：∵ a、b、c∈R＋，∴ ＋≥2 abca 同理，＋≥2a bc 2 2 2 2 2 2 22 2 2 b＋aa 2c＋bbb. a a. c bc ·＝2caba， cc＋bb cab ，＋≥2bbca 2 22 a. c22ab 8. 已知a、b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1. a＋1b＋1 22ab 证明：(证法1)＋－1 a＋1b＋1 22 a（b＋1）＋b（a＋1）－（a＋1）（b＋1）＝ （a＋1）（b＋1） 2222 ab＋ab＋a＋b－ab－a－b－1＝. （a＋1）（b＋1） 22ab1－ab ∵ a＋b＝2，∴ ＋－1＝. a＋1b＋1（a＋1）（b＋1） 2 （a＋b） ∵ a、b都是正实数，∴ ab≤＝1， 4 2222abab∴ ＋－1≥0，即＋≥1. a＋1b＋1a＋1b＋1(证法2)由柯西不等式，得 22 ?a＋b?[(a＋1)2＋(b＋1)2]≥(a＋b)2. ?a＋1b＋1??? 22ab??＋∵ a＋b＝2，∴ 上式即为??×4≥4， ?a＋1b＋1? 22ab即＋≥1. a＋1b＋1 222aa＋1bb＋1a (证法3)∵ a、b都是正实数，∴ ＋≥a，＋≥b.两式相加，得＋a＋14b＋14a＋1 2 a＋1bb＋1 ＋＋≥a＋b. 4b＋14 22ab ∵ a＋b＝2，∴ ＋≥1. a＋1b＋1 111?2?222 9. (2014·苏北三市期末)已知a、b、c均为正数，求证：a＋b＋c＋?＋＋?≥63. ?abc? 2 111222 证明：(证法1)因为a、b、c均为正数，由均值不等式得a＋b＋c≥3(abc)3，＋＋ abc 1 ≥3(abc)－， 3 111?22?所以?＋＋?≥9(abc)－. 3?abc? bca 三式相加可得＋＋≥c abcb＋aa
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