第2章 圆锥曲线与方程 章末检测
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
答案 26
解析 建立坐标系如图所示．
则抛物线方程为x＝－2py(p＞0)．
∵点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，即抛物线方程为x＝－2y.当y＝－3时，x＝±6. ∴水面下降1米后，水面宽为26米．
2
2
x2y2
2．双曲线2－2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为__________．
ab答案
2
解析 依题意两条渐近线方程必为y＝±x，则a＝b，所以c＝2a，故双曲线的离心率为2. 3．若抛物线y＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
62答案 4
解析 椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，而抛物线y＝2px的焦点为(，0)，则＝2，故p＝
62224.
4．△ABC的顶点B、C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦
3点在BC边上，则△ABC的周长是________． 答案 43
解析 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a＝43.
5．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________．
25－m16＋m答案 m>25
- 1 -
2
x2y2
x2y2
2
ppx2
2
x2y2
??25－m<0，
解析 由?
?16＋m>0，?
解得m的取值范围是m>25.
1
6．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则该双曲线的离心率e为________．
2答案
5 2
1b1c222
解析 由于焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±x，可得＝，又c＝a＋b，可解得e＝
2a2a的值为
5
. 2
2
7．抛物线y＝2px(p>0)上有一点M纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程是____________． 答案 y＝8x或y＝16x
(－42)16p16p解析 由已知得点M的横坐标xM＝＝(p>0)，又xM＋＝6，即＋＝6，解得p＝4
2pp2p2或p＝8.
故抛物线的方程是y＝8x或y＝16x.
→2
8．设O是坐标原点，F是抛物线y＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正方→
向的夹角为60°，则|OA|＝__________. 答案
21p 2
2
2
2
2
2
解析 依题意可设AF所在直线方程为
ppy－0＝(x－)tan60°，∴y＝3(x－)．
2
2
p??y＝3(x－)，2联立?
??y2＝2px，
p3p解得x＝或，
62
3p→
∵FA与x轴正向夹角为60°，∴x＝，y＝3p，
221→22
∴|OA|＝x＋y＝p.
2
9．设抛物线y＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线
2
AF斜率为－3，那么PF＝________.
答案 8
解析 由题意可知，∠AFO＝60°，由焦点到准线的距离为4，所以AF＝8，∵PA∥FO，∴∠
- 2 -
PAF＝60°，又由抛物线的定义，知PA＝PF，因而△PAF为正三角形，所以PF＝AF＝8.
10．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________． 答案
2 2
x2y2
解析 不妨设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab??a＝2，则有?a??c－c＝1，
2
2b2
??a＝2， ①
即?b??c＝1，②
2
2b2
②÷①得e＝
2
. 2
11．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(3，－4)的双曲线方程为____________．
93答案
－＝1 1545
x2y2
y2x2
解析 由题意可设所求双曲线方程为
x2y2
9
－＝λ(λ≠0)， 3
2
2
(3)(－4)
∵双曲线经过点(3，－4)，∴λ＝－＝－5，
93∴所求双曲线方程为－＝1.
1545
12．若中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆短轴端点是双曲线y－x＝1的顶点，且该椭圆的离心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为__________． 答案
2
2
y2x2
x2
2
＋y＝1
2
2
2
解析 由双曲线y－x＝1的顶点坐标为(0，±1)，可得椭圆的b＝1；又双曲线的离心率为
1＋12x2
＝2，从而由已知得椭圆的离心率为，∴椭圆的a＝2，∴该椭圆的方程为＋y122＝1.
13．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、
4四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．
2
x2
2
- 3 -
答案
6 2
解析 设AF1＝x，AF2＝y，
因为点A为椭圆C1：＋y＝1上的点，
4所以2a＝4，b＝1，c＝3；
所以AF1＋AF2＝2a＝4，即x＋y＝4；① 又四边形AF1BF2为矩形， 所以AF1＋AF2＝F1F2，
即x＋y＝(2c)＝(23)＝12，②
??x＋y＝4，
由①②得：?22
?x＋y＝12，?
2
2
2
2
2
2
2
x2
2
解得x＝2－2，y＝2＋2，设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距
2
2
为2c′，则2a′＝AF2－AF1＝y－x＝22，2c′＝22－1＝23， 所以双曲线C2的离心率e＝
c′36
＝＝. a′22
2
12x2
14．已知抛物线C1：y＝x(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y＝1的右焦点的连线交C1于第一
2p3象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________. 答案
43
3
3px.抛物线的焦点为F(0，)，双曲线的右焦点32
解析 经过第一象限的双曲线的渐近线为y＝2
1x03133
为F2(2,0)．y′＝x，所以在M(x0，)处的切线斜率为，即x0＝，所以x0＝p，即
p2p3p33－0－262p3p43
三点F(0，)，F2(2,0)，M(p，)共线，所以＝，即p＝.
2360－233
3
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)如图，在P处有一堆肥料沿道路PA或PB送到矩形的一块田ABCD中，已知PA＝100m，PB＝150m，BC＝60m，∠APB＝60°，能否在田中确定一
pppp - 4 -
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