22．（10分）已知点，且
.
是函数的极值点.求实数的值；求证：函数存在唯一的极小值
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．A 10．A 11．A 12．B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．10 14．4. 15．27 2y?4x 16．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1??x217．（1）?y2?1（2）定点E?0,??
2??2【解析】 【分析】
11cc2a2?b22(1)由椭圆的离心率得到?，以及点在椭圆上得到2?2?1，结合方程组得??a2baa2a22到参数值；（2）联立直线和椭圆得到关于k的二次方程，将题干中所给的线线关系转化为kED??kEC，所以kEA?kED?0，kEA?kED?2k??2?t??【详解】
?x1?x2???0，代入韦达定理得到结果. xx?12?11cc2a2?b22 （1）由题知： ??1,???2222a2baaa2所以a?2,b?1,c?1
x2所以椭圆W的方程：?y2?1
2（2）由题意:设A?x1,y1?,D?x2,y2?，
结合图形由对称知：直线AD:y?kx?2与椭圆W有两个交点A、D
?y?kx?2?221?2kx?8kx?6?0 由?x2得??2??y?1?2由韦达定理得:x1?x2?8k6,xx?, 121?2k21?2k2再由对称知可设该定点为E?0,t?，
因为直线AC与BD相交于E?0,t?，所以kEA?kEC， 又因为kED??kEC，所以kEA?kED?0 所以kEA?kED?y1?ty2?tkx1??2?t?kx2??2?t???? x1x2x1x2?x?x??2k??2?t??12??0
?x1x2?所以2k?【点睛】
本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一
22a,ba,b,c般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意
4?2?t?k31??1E0,??0?t??，所以定点??
2??2a2?b2?c2,e?ca的应用；涉及直线与圆锥曲
线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 18．（1）3（2）18?122 【解析】 【分析】
（Ⅰ）营养液有效则需满足y?4，由分段函数，对x讨论，解不等式即可得到结论；
（Ⅱ）设第二次投放营养液的持续时间为x天，则此时第一次投放营养液的持续时间为?x?3?天，且
x1?x2,x1?x2，再根
0?x?2；设设y1为第一次投放营养液的浓度， y2为第二次投放营养液的浓度， y为水中的营养液的
浓度；；可得y?y1?y2?4?2x?b?式，即可得到b的最小值． 【详解】
（1）营养液有效则需满足y?4，
3?x?4在?0,2?上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等3?x0?x?22?x?5则{3?x或{，
2?5?x??42??43?x即为1?x?2或2?x?3， 解得1?x?3，
所以营养液有效时间最多可达3天； （2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，
则此时第一次投放营养液的持续时间为?x?3?天，且0?x?2； 设y1为第一次投放营养液的浓度， y2为第二次投放营养液的浓度， ∴y1?2??5??x?3????4?2x，
y为水中的营养液的浓度；
y2?b?3?x， 3?x3?x?4在?0,2?上恒成立， 3?x由题意得y?y1?y2?4?2x?b?∴b?2x?3?x在?0,2?上恒成立， 3?x令t?3?x,t?3,5，则b??2?t?????18???18， t?又?2?t???18?18?18?18?2?2t??18?122， ?t?t18，即t?32时等号成立； t当且仅当t?因为32??3,5?
所以b的最小值为18?122. 【点睛】
本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
x219． (1) ?y2?1 (2)见解析
4【解析】 【分析】
?c3??a2??（1）根据题干列出式子2?3?a?c，结合?2b?2求解即可；（2）设出直线方程，联立直线和
?a2?b2?c2???椭圆方程，设A?x1,y1?，B?x2,y2?，P?1,t?，k1?k2?当直线AB与x轴重合时验证即可. 【详解】
（1）椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为2?3?a?c，
t?y1t?y2?，根据韦达定理化简得到结果.1?x11?x2?c3??a2??a?2?结合题干条件得到?2b?2，解之得?，
b?1??a2?b2?c2???x2由b?a?c?1，知故椭圆的方程为：?y2?1，
4222（2）设A?x1,y1?，B?x2,y2?，P?1,t?，M?1,0?
3?3?t?若直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x?my?1，点N?4,?，m，
?m?k0??3将直线代入椭圆方程整理得：
?m2?4y2?2my?3?0，显然??0，则y1?y2???2m3yy??，， 12m2?4m2?4k1?k2?t?y1t?y2?t?y1??1?x2???t?y2??1?x1???
1?x11?x2?1?x1??1?x2?t?y1???my2???t?y2???my1??t?y1?y2??2y1y2??? ?my?mymyy?1??2?12?2m?3?t·2?2?23t?m?4m?4? 2mt?6
3???2?m?2k0?m·?3m?3??2??m?4?若直线AB与x轴重合时，则B??2,0?，A?2,0?，N?4,0?，此时k1?k2?而k0??tt2???t， 3?132t，故k1?k2?2k0. 3综上所述，存在实数??2符合题意. 【点睛】
相关推荐：
loading