专题18 直角三角形(吴梅录入)
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直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质： 角的关系：两锐角互余；
边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；
边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半.
这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.
在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.
熟悉以下基本图形基本结论：
30°
例题与求解
【例l】（1）直角△ABC三边的长分别是x，x?1和5，则△ABC的周长＝_____________.△ABC的面积＝_____________.
（2）如图，已知Rt△ABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD＝_____________.
ACDB
（太原市竞赛试题）
解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.
【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°
CAB
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.
【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数.
AB
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.
【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.
EBFACPC
（上海市竞赛试题）
解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.
【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：
DBD2?AB2?BC2
ADCB
（北京市竞赛试题）
解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.
【例6】斯特瓦尔特定理：
如图，设D为△ABC的边BC上任意一点，a，b，c为△ABC三边长，则
b2BD?c2DCAD??BD?DC.请证明结论成立.
a2ABDC
解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.
能力训练
A级
1.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC＝_____________.
AC
2.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.
AD第1题BDEC第2题B
3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，则∠DAB＝_____________.
DAB第3题C
（上海市竞赛试题）
4.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则BC的长为_____________.
ABCD第4题
（湖北省预赛试题）
5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 o，那么这个三角形的形状是（ ）
A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D.不能确定
（山东省竞赛试题）
6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为（ ）
A.33342 B. 5 C. 5 D. 5 21055ACB第6题
（福州市中考试题）
7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ）
A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米
第7题
8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么
BC等于（ ） CDA.1 B. 2 C.
3 D.
5 4DAC第8题B
9. 如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ.
APEQBDC
（北京市竞赛试题）
10. 如图，△ABC中，AB＝AC.
（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：BP?CP?AB2?AP2
（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.
ABPC
11.如图，直线OB是一次函数y?2x图象，点A的坐标为（0，2），在直线
OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C的坐标.
yOx
12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C?处，BC?交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积.
C'AEDB
（山西省中考试题）
C
B级
1.若△ABC的三边a,b,c满足条件：a2?b2?c2?338?10a?24b?26c，则这个三角形最长边上的高为_____________.
2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC内的一点，PA＝1，PB＝3，PC＝7，则∠CPA＝_____________.
CPA第2题B
3. 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为_____________.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A. CF＞GB B. CF＝GB C. CF＜GB D. 无法确定
CFEAD第4题GB
5. 在△ABC中，∠B是钝角，AB＝6，CB＝8，则AD的范围是（ ） A. 8＜AC＜10 B. 8＜AC＜14 C. 2＜AC＜14 D. 10＜AC＜14
（江苏省竞赛试题）
6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
（浙江省竞赛试题）
7.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是
AB，AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积.
AEBFDC
（四川省联赛试题）
8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2?BE2?CF2
AEFBDC
（江苏省竞赛试题）
9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.
（全国联赛试题）
10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，求△ABC面积.
ABDC
（天津市竞赛试题）
11.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF
＝45°，试推断BE，CF，EF之间数量关系，并说明理由.
BEFAC
12.已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠MCN＝45°. （1）如图1，当M，N在AB上时，求证：MN2?AM2?BN2
（2）如图2，将∠MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
CCAM图1NBMAN图2B
（天津市中考试题）
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