1、函数的概念：
（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。
（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。
求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。
函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。
求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围
m?4x?3
?Z}，N={x|?N}，则M∩N=__________。 22
12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。
13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。
14、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。 15、非空集合p满足下列两个条件：（1）p?（2）若元素a∈p，则6-a?{1，2，3，4，5}， ∈p，则集合p个数是__________。 （三） 解答题
16、设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求a取值范 围。
17、已知抛物线C：y=-x+mx-1，点M（0，3），N（3，0），求抛物线C与线段MN有两个不
同交点的充要条件。
18、设A={x|x+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=φ，A∩N=A，
求p、q的值。 19、已知a?x2? 2 2
内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。
在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。 2、函数的通性 （1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(?x)?f(x)?0，≠0）。 f(?x)
??1（f(x)f(x) 12
，b=2-x，c=x-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。 2 奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。 函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。 利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。
（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。
函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。
函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。
（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。
求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2|a-b|。
（4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。
设函数f(x)定义域为A，值域为C，则 f[f(x)]=x，x∈A f[f(x)]=x，x∈C 8、函数的图象 函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。
图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。
4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。
对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。
应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。
5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。 -1-1 -1 -1
利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。 ∵ y=f(x+1) ∴ x+1=f(y) ∴ x=f(y)-1
∴ y=f(x+1)的反函数为y=f(x)-1 即 g(x)=f(x)-1 ∴ g(11)=f(11)-1= -1-1 -1 3 2
评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f(b)。 例2、设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1<x≤1时，f(x)=2x-1，求当1<x≤3时，函数f(x)的解析式。
解题思路分析： 利用化归思想解题 ∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=-f(x+2) ∵ 该式对一切x∈R成立
∴ 以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当1<x≤3时，-1<x-2≤1 ∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 ∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5 ∴ f(x)=-2x+5（1<x≤3）
评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。
例3、已知g(x)=-x-3，f(x)是二次函数，当x∈[-1，2]时，f(x) 的最小值，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式。 分析：
用待定系数法求f(x)解析式 设f(x)=ax+bx+c（a≠0） 2 2 -1
三、典型例题 2x?3-1
例1、已知f(x)?，函数y=g(x)图象与y=f(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(11) x?1的值。 分析：
则f(x)+g(x)=(a-1)x+bx+c-3 ?a?1?0 由已知f(x)+g(x)为奇函数? c?3?0??a?1 ∴ ? c?3? 2
f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x)>1，求x的取值范围。 分析：
（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)] ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 （2）令a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f(?x)? 1 f(x) 2 2
∴ f(x)=x+bx+3
下面通过确定f(x)在[-1，2]上何时取最小值来确定b，分类讨论。 b2b2b f(x)?(x?)?3?，对称轴x?? 242 2
（1）当? b
≥2，b≤-4时，f(x)在[-1，2]上为减函数 2
∴ (f(x))min?f(2)?2b?7 ∴ 2b+7=1 ∴ b=3（舍） （2）当?
由已知x>0时，f(x)>1>0 当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴ f(x)? 1
?0 f(?x) b
，-4<b<2时 ?（-1，2） 2 bb2
?f(?)???3 24
(f(x))min 2
又x=0时，f(0)=1>0 ∴ 对任意x∈R，f(x)>0
（3）任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ f(x2)
?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x1)?1 f(x1) ∴ ? b
?3?1 4
∴ b??22（舍负） （3）当? b
≤-1，b≥2时，f(x)在[-1，2]上为增函数 2
∴ (f(x)min=f(1)=4-b ∴ 4-b=1 ∴ b=3 ∴ f(x)?x2?2x?3，或f(x)?x3?3x?3
评注：二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一。在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值。
例4、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有
∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x)=f[x+(2x-x)]=f(-x+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增 ∴ 由f(3x-x)>f(0)得：3x-x>0 ∴ 0<x<3
评注：根据f(a+b)=f(a)·f(b)是恒等式的特点，对a、b适当赋值。利用单调性的性质去掉符号“f”得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法。 2 2 2 2 2
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