5.2 空间中的平行与垂直
【课时作业】
A级
1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析： 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β?/ α∥
β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m?α，所以m∥β.综上知，“m∥β”
是“α∥β”的必要而不充分条件．
答案： B
2．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与
CD所成角的正切值为( )
A.2 25 2
B．
3 27 2
C.D．
解析： 如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB. 在Rt△ABE中，设AB＝2， 则BE＝5，则tan∠EAB＝＝
BEAB5， 2
5
.故选C. 2
所以异面直线AE与CD所成角的正切值为答案： C
9
3．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形．若
4
P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A.C.5π 12π 4
πB．
3πD．
6
解析： 如图，取P1为底面ABC的中心，连接PP1，AP1，由底面是边333
长为3的正三角形，知底面三角形的高为，面积为，又三棱柱的体
249
积为，则高PP1＝3，AP1＝1，∠PAP1为所求角，因为tan∠PAP1＝3，
4
π
所以∠PAP1＝.
3
答案： B
4．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形； ③三棱锥D-ABC是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是( ) A．①②④ C．②③④
B．①②③ D．①③④
解析： 由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，结合②知③正确；由①知④不正确．故选B.
答案： B
5．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若P为三角形A1B1C1内一点(不含边界)，则点P在底面ABC的投影可能在( )
A．△ABC的内部 C．直线AB上
解析： 因为AC⊥AB，AC⊥BC1， 所以AC⊥平面ABC1，AC?平面ABC， 所以平面ABC1⊥平面ABC，
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．
若P为三角形A1B1C1内一点(不含边界)，则点P在底面ABC的投影可能在△ABC的外部． 答案： B
6．若P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确的命题是________．
解析： 由已知可得OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正确的只有①③. 答案： ①③
B．△ABC的外部 D．以上均有可能
7．已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；
②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，则b⊥α； ④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，l?α，则l⊥α. 其中正确的命题是________．(填序号)
解析： ①在正方体A1B1C1D1-ABCD中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面
A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a，b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．故填②③.
答案： ②③
8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出的下列结论正确的是________．
①AF⊥PB；②EF⊥PB； ③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
解析： 由题意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. 所以BC⊥AF.
因为AF⊥PC，BC∩PC＝C， 所以AF⊥平面PBC，PB?平面PBC， 所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF. 故①②③正确． 答案： ①②③
9．(2018·郑州市第一次质量测试)如图，在三棱锥P-ABC中，平面
PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝23，AC＝26，D为线段AB上的点，且AD＝2DB，PD⊥AC.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
π
(2)若∠PAB＝ ，求点B到平面PAC的距离．
4233
解析： (1)证明：∵cos∠ABC＝＝，
63
∴CD＝2＋(23)－2×2×23cos∠ABC＝8，∴CD＝22， ∴CD＋AD＝AC，则CD⊥AB.
∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，PD?平面PAB，∴CD⊥PD， ∵PD⊥AC，AC∩CD＝C，∴PD⊥平面ABC. π
(2)由(1)得PD⊥AB，∵∠PAB＝，
4∴PD＝AD＝4，PA＝42，
在Rt△PCD中，PC＝PD＋CD＝26， ∴△PAC是等腰三角形，∴可求得S△PAC＝82. 设点B到平面PAC的距离为d，
11
由VB-PAC＝VP-ABC，得S△PAC×d＝S△ABC×PD，
33∴d＝
2
2
2
2
2
2
2
2
S△ABC×PD＝3. S△PAC故点B到平面PAC的距离为3.
10．在如图所示的多面体ABCDE中，已知ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面
ABE，∠AEB＝90°，AE＝BE.
(1)若M是DE的中点，试在AC上找一点N，使得MN∥平面ABE，并给出证明； (2)求多面体ABCDE的体积．
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