24．解：（1）由题意，可得8?16a?4(a?1)及8?4k，解得a?1,k?2，
所以，抛物线的解析式为y?x2?2x，直线的解析式为y?2x.
…………………………2分
（2）设点P的坐标为(t,2t)(0≤t≤4)，可得点Q的坐标为(t,t2?2t)，则 PQ?2t?(t2?2t)?4t?t2??(t?2)2?4 所以，当t?2时，PQ的长度取得最大值为4.
………………………………4分
（3）易知点M的坐标为（1，-1）.过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，
四边形AOMN为梯形.直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所以直线MN的方程为y?2x?b.因为点M在直线y?2x?b上，解得b =3,即直线MN的方程为y?2x?3，将其代入y?x2?2x，可得 2x?3?x2?2x
即 x2?4x?3?0 解得 x1?1，x2?3 易得 y1??1，y2?3
所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3,3）.
…………5分
如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H， 显然四边形MNHG是平行四边形.可得点G（1,2），H（3,6）. 1
yA(4,8) H NGO1113S△OMG??(1?0)?MG??[2?(?1)]?
222113S△ANH??(4?3)?NH??(6?3)?
222S△MNHG?(3?1)?NH?2?3?6
xM所以，梯形AOMN的面积S梯形AOMN?S△OMG?S△MNHG?S△ANH?9.
……………………7分
25． 解：（1）k=1； ……………………….……………………………2分
（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.
由题意，tan∠BAC=∴
1， 2ABCDE1??. ACAE2DEQ∵ D、E、B三点共线，
FGCB
∴ AE⊥DB.
∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°, ∴ ∠QBC=∠EAQ.
∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴ ∠ECA=∠BCG. ∴ △BCG∽△ACE. ∴
BCGB1??. ACAE2∴ GB=DE. ∵ F是BD中点， ∴ F是EG中点. 在Rt△ECG中，CF?1EG, 2
∴ BE?DE?EG?2CF.
.…………………………….……………………………5分
1（3）情况1：如图，当AD=AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，
3∵∠ACB=90°， tan∠BAC=∴AC=12，AB=65.
∵M为AB中点，∴CM=35, 1，且BC= 6, 2ADMF1∵AD=AC，
3∴AD=4.
∵M为AB中点，F为BD中点，
1∴FM=AD= 2.
2
∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2?35. .…………………………….……………………………6分
情况2：如图，当AD=
CBADMF2AC时，取AB的中点M， 3CB
连结MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为4?35.
………….……………………………7分
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的 三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4?35.
.…………………………….……………………………8分
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