新力学习题答案（三）
3—1．有一列火车，总质量为M，最后一节车厢为m，若m从匀速前进的列车中脱离出来，并走了长度为s在路程后停下来。若机车的牵引力不变，且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时，它距离列车后端多远？ 解：
设摩擦系数为?，则机车的牵引力为F??Mgm离开列车后，仅受摩擦力f??mg的水平力作用其加速度a??mgm2最终m速度为0:2as?v0m从v0?0所需时间为t???g?v0?2?gsv0?a2?gs??g2s?g（1）由于牵引力不变,此时火车的摩擦力为??M?m?g火车加速度为a0??Mg???M?m?gM?m所以在这t时间内火车前进的路程为：s'?v0t??m?gM?m122s1m2sat?2?gs???g?2?g2M?m?g?2s?m?sM?mm?sM?m?所求的距离为s'?s?3s?3—2．一质点自球面的顶点由静止开始下滑，设球面的半径为R球面质点之间的摩擦可以忽略，问质点离开顶点的高度h多大时开始脱离球面？
1解：依机械能守恒律有：mv2?mgh2?v?2gh(1)mv2受力分析有：F向心?mgcos??N?Rv2当N?0时有:gcos??(2)RR?h又：cos??(3)R联立（1），（2），（3）得：gR?h2gh?RR?h?R3?
3—3．如本题图，一重物从高度为h处沿光滑轨道下滑后，在环内作圆周运动。设圆环的半径为R，若要重物转至圆环顶点刚好不脱离，高度h至少要多少？
解：依机械能守恒得：若设重物在环顶部具有的速度为v，则有：mg?h?2R??12mv2?v?2g?h?2R?h R (1)N?0mv2而此时F向心?mg?N?R?v?gR(2)联立（1），（2）式得：h?5R23—４．一物体由粗糙斜面底部以初速度v0冲上去后又沿斜面滑下来，回到底部时的速度为v1，求此物体达到的最大高度。
解：设物体达到的最大高度为h，斜面距离为s，摩擦力为f。
依动能定理，有：12冲上去的过程中：mv0?mgh?fs21滑下来的过程中：mgh?mv12?fs22v0?v12两式消去fs，得：h?4g
３—５．如本题图：物体A和B用绳连接，Ａ置于摩擦系数为?的水平桌面上，Ｂ滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量可以忽略，绳不可伸长。以知两物体的质量分别为mA,mB,求物体Ｂ从静止下降一个高度h后所获得的速度。 解：由绳不可伸长，得A，B两物体速度相等。 依动能定理有：
1?mA?mB?v2?mBgh??mAgh2?mB??mA?2ghv?mA?mB这就是物体Ｂ从静止下降一个高度h后所获得的速度。 ３—６．用细线将一质量为m的大圆环悬挂起来。两个质量均为M的小圆环套在大圆环上，可以无摩擦地滑动。若两个小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑，求在下滑过程中，?取什么值时大圆环刚能升起？
T??N
Mg
解：当m刚升起时，绳子张力 T为零。
m在竖直方向上所受的合力为：F?T?2Ncos??mg(1)v2对于M，有：M?Mgcos??N(2)R对于M,依机械能守恒有：1Mv2?MgR?1?cos??2?v2?2gR?1?cos??(3)(3)代入(2)得：N?Mgcos??2Mg?1?cos???3Mgcos??2Mg(4)(4)代入(1)得：F?T?6Mgcos2??2Mgcos??mg要使大圆环刚能升起，则:F?0,T?0代入上式得：6Mgcos2??2Mgcos??mg?02M?4M2?24MmM?M2?6Mm?cos???6M3MM?M2?6Mm??cos3M?13—7．如本题图，在劲度系数为k的弹簧下挂质量分别为m1和m2的两个物体，开始时处于静止。若把m1和m2间的连线烧断，求m1的最大速度。
解：连线未断时，弹簧受到的弹性力为：f??m1?m2?gk连线烧断的瞬间，连线张力消失，弹簧弹性力不变。m1向上作加速运动，直到m1受合力为0时速度达最大，此时弹性力：f'?m1g,弹簧伸长量为：x'?势能零点，则有：11120?kx2?m1gx?m1vmax?kx'2?m1gx'222m1gk在此过程中m1的机械能守恒,若取弹簧自由伸缩状态为弹簧伸长量为：x??m1?m2?gkm1m2?m?m2?g?1mv2?1k?m1g??mgm1g1??m1?m2?g?k???m1g1??1max12?kk22?k?k?mg?vmax?2km122
3—8．劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体。当把弹簧压缩x0后，在它旁边紧贴着放一质量为mB的物体。撤去外力后，求：
B（1）A、B离开时，B以多大速率运动？
mAm（2）A距起始点移动的最大距离。 解：（1）A获得最大的向右的速度时，就是A、B分开的
O时候，此时弹簧的弹性力为0（自由伸缩状态）
k12111222kx0?mAvA?mBvB??mA?mB?vB2222k?vB?x0mA?mB依机械能守恒律有：
x0（2）A距起始点的最大距离在弹簧自由伸缩状态的右边当A的速度为0处。
弹簧自由伸缩状态处：vA?vB?依机械能守恒律有:?x'?kx0mA?mB112mAvA?kx'222mAx0mA?mBX?x0?x'?x0?mAx0mA?mB?所求距离为：3—9．如本题图，用劲度系数为k的弹簧将质量为mA和mB的物体连接，放在光滑的水平桌面上。mA紧靠墙，在mB上施力将弹簧从原长压缩了长度x0。当外力撤去后，求： （1）弹簧和mA、mB所组成的系统的质心加速度的最大值。 （2）质心速度的最大值。
解：（1）外力撤去后，对由A、B组成的系统，水平外力仅有墙反抗A的压力而具有的反压力N，N?kx,当x?x0时，Nmax?kx0?ac?NNmaxkx0，acmax??mA?mBmA?mBmA?mBmAkmBx0Ox(2)当N?0时(即弹簧力为0时），ac?0,vc达最大。此时A还没来得及动，可用机械能守恒律求vB1212kx0?mBvB?vB?22?vcmax?
kx0mBkx0mB0?mBvBmB?mA?mBmA?mB
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