b?1，由(2)得，x??0,???时，lnx?x?1 ablnlntb?1，即a?1， 令t?，则lnt?t?1，因为t?1，所以
bat?1?1abln11a?1?1?1．
因为?0，所以?ab?1aaa因为b?a?0，所以【点睛】
本题考查利用导数求含参函数的单调区间及恒成立的问题，同时考查利用上问结论作为铺垫证明解决新问题的能力．
20．数列an?，bn?，cn?满足：bn?an?2an?1，cn?an?1?2an?2?2，n?N*． （1）若数列an?是等差数列，求证：数列bn?是等差数列；
（2）若数列bn?，cn?都是等差数列，求证：数列an?从第二项起为等差数列； （3）若数列bn?是等差数列，试判断当b1?a3?0时，数列an?是否成等差数列？证明你的结论．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）数列an?成等差数列．
【解析】【分析】试题分析：（１）证明一个数列为等差数列，一般从等差数列定义出发：
???????????bn?1?bn?(an?1?2an?2)?(an?2an?1)?(an?1?an)?2(an?2?an?1)?d?2d??d，
其中d为等差数列{an}的公差（2）同（1），先根据关系式bn?an?2an?1，
cn?1?an?2an?1?2解出an?bn?cn?1?1，再从等差数列定义出发2b?cb?cb?bc?cddan?1?an?n?1n?nn?1?n?1n?nn?1?1?2，其中d1,d2分别为等
222222差数列{bn}，{cn}的公差（3）探究性问题，可将条件向目标转化，一方面b1?a3?0，所以a1?2a2??a3，即a1?2a2?a3?0，另一方面2bn?1=bn+bn?2，所以
an?2an?1+an+2?2an?3=2（an+1?2an?2），整理得
2an?1?an?an?2?2(2an?2?an?1?an?3)，从而2an?1?an?an?2?0，即数列{an}成等
差数列．
试题解析：证明：（1）设数列{an}的公差为d，
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∵bn?an?2an?1，
∴bn?1?bn?(an?1?2an?2)?(an?2an?1)?(an?1?an)?2(an?2?an?1)?d?2d??d，
∴数列{bn}是公差为?d的等差数列． （2）当n?2时，cn?1?an?2an?1?2，
bn?cn?1b?c?1，∴an?1?n?1n?1， 22b?cnbn?cn?1bn?1?bncn?cn?1∴an?1?an?n?1???，
2222b?bncn?cn?1∵数列{bn}，{cn}都是等差数列，∴n?1?为常数，
22∵bn?an?2an?1，∴an?∴数列{an}从第二项起为等差数列． （3）数列{an}成等差数列． 解法１ 设数列{bn}的公差为d?， ∵bn?an?2an?1，
nnn?1n?1n?1n2∴2bn?2an?2an?1，∴2bn?1?2an?1?2an， ，2b1?2a1?2a2，
nn?1n?1∴2bn?2bn?1?L?2b1?2a1?2an?1，
2n?1n2nn?1设Tn?2b1?2b2L?2bn?1?2bn，∴2Tn?2b1?L?2bn?1?2bn， 2n?1nn?1两式相减得：?Tn?2b1?(2?L?2?2)d??2bn，
n?1n?1n?1n?1n?1 即Tn??2b1?4(2?1)d??2bn，∴?2b1?4(2?1)d??2bn?2a1?2an?1，
∴2n?1an?1?2a1?2b1?4(2n?1?1)d??2n?1bn?2a1?2b1?4d??2n?1(bn?d?)，
2a1?2b1?4d??(bn?d?)， n?122a?2b1?4d?2a1?2b1?4d???(b?d)??b1， 令n?2，得a3?1223232a?2b1?4d??b1?a3?0，∴2a1?2b1?4d??0， ∵b1?a3?0，∴132∴an?1?∴an?1??(bn?d?)，∴an?2?an?1??(bn?1?d?)?(bn?d?)??d?， ∴数列{an}（n?2）是公差为?d?的等差数列，
∵bn?an?2an?1，令n?1，a1?2a2??a3，即a1?2a2?a3?0，
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∴数列{an}是公差为?d?的等差数列． 解法2 ∵bn?an?2an?1，b1?a3?0，
令n?1，a1?2a2??a3，即a1?2a2?a3?0， ∴bn?1?an?1?2an?2，bn?2?an?2?2an?3，
∴2bn?1?bn?bn?2?(2an?1?an?an?2)?2(2an?2?an?1?an?3)， ∵数列{bn}是等差数列，∴2bn?1?bn?bn?2?0， ∴2an?1?an?an?2?2(2an?2?an?1?an?3)， ∵a1?2a2?a3?0，∴2an?1?an?an?2?0， ∴数列{an}是等差数列． 【考点】等差数列定义 【详解】
请在此输入详解！
?1?1?21．已知矩阵A???，其中a?R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点
a1??P?(0,?3)，求矩阵A的两个特征值.
【答案】矩阵A的特征值为?1或3．
【解析】根据点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P?(0,?3)，列出方程求出a，从而可确定矩阵A，再求出矩阵A的特征多项式，令其等于0，即可求出矩阵A的特征值． 【详解】 由??1?1??1??0????，得a?1??3，所以a??4， ????a1??1???3??1?1?故A???，
?41??则矩阵A的特征多项式为f(x)???141??1?(??1)2?4??2?2??3，
令f(?)?0，解得???1或??3， 所以矩阵A的特征值为?1或3．
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【点睛】
本题主要考查矩阵的特征多项式及特征值的求法，属于中档题． 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是??x?cos?，以平面直角坐标系
y?sin??的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是
??2cos???【答案】3 ?????，它们相交于A,B两点，求线段AB的长. 6?【解析】将曲线C1的参数方程化为普通方程，曲线C2的极坐标方程互为直角坐标方程，联立方程求出交点A,B，然后利用两点间的距离公式即可求出AB的长． 【详解】
?x?cos?22由?消去?得，曲线C1直角坐标方程是x?y?1， ?y?sin?因为??2cos????????，所以??3cos??sin?， 6?所以?2?3?cos???sin?，所以x2?y2?3x?y?0，
?322x???x?0??x?y?1?2， 由?2，解得或??2??y??1?y?1?x?y?3x?y?0?2??31?即A?0,?1?,B??2,2??
??2?3??1?所以AB??0????1???3． ???2??2??2【点睛】
本题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程互为直角坐标方程，关键是掌握这两类问题的的互化方法．
23．已知正实数a,b,c满足a?b?c?3，求证：【答案】见解析
【解析】利用基本不等式的性质即可证得结果． 【详解】
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bca?2?2?3． 2abc
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