因为正实数a,b,c满足a?b?c?3， 所以3?a?b?c?33abc，所以abc?1， 所以
bcabca133???3???3?3． 222222abcabcabc【点睛】
本题主要考查基本不等式的性质应用，属于基础题．
24．如图，已知AB是圆柱OO1底面圆O的直径，底面半径R?1，圆柱的表面积为8?，点C在底面圆O上，且直线A1C与下底面所成的角的大小为60o.
(1)求AC的长；
(2)求二面角A?A1B?C的大小的余弦值. 【答案】（1）AC?3（2）3 4【解析】(1)根据母线A1A?底面ACB，即可找出A1C与下底面所成的角的为?ACA，1从而在直角三角形A1AC中，即可求出AC；
(2) 以A为坐标原点，以AB、AA1分别为y、z轴建立空间直角坐标系,写出所需点的坐标，分别求出平面AA1B和平面A1BC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A?A1B?C的大小的余弦值. 【详解】
(1)设圆柱的母线长为l，则根据已知条件可得，
S全?2??R2?2?Rl?8?，解得l?3，因为A1A?底面ACB，所以AC是A1CR?1，
?60o 在底面ACB上的射影，所以?ACA是直线A1C与下底面ACB所成的角，即?ACA11第 17 页 共 20 页
?60o，AC?3 在直角三角形A1AC中，AA1?3，?ACA1(2)因为AB?2是底面直径，AC?3，所以?CAB??6
以A为坐标原点，以AB、AA1分别为y、z轴建立空间直角坐标系,如图所示，
则A(0,0,0)、C(33,,0)、A1(0,0,3)、B(0,2,0)， 22uuuruuurr31,于是A,,0)，设平面A1CB的一个法向量为n?(x,y,z)， 1B?(0,2,?3)CB?(?22uuuv?v?n?CB?0,??3x?1y?0,?v则?vuuu即?2不妨令z?1，即平面A1CB的一个法向量2??n?A1B?0?2y?3z?0,?uur33n2?(,,1)，
22uur因为平面A1AB的一个法向量为n1?(1,0,0)，
3uruur|n1?n2|3， 设二面角A?A1B?C的大小为?，则
ruur?2?cos??u24|n1||n2|由于二面角A?A1B?C为锐角，所以二面角A?A1B?C的大小的余弦值是【点睛】
本题主要考查线面角的找法及利用向量法求二面角的的大小．
25．记Ci为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量?表示满足
r3． 41Cir?i2的二元数组(r,i)中的r，其中i?{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，每一个
2（
0,1,2, ,i）都等可能出现．求E?．
【答案】
77 24第 18 页 共 20 页
【解析】【分析】试题分析：关键解组合不等式Ci?r12i，由于i?{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2所以先具体探究，再分类说明．随机变量?可以取0,1,2, ,10，当??r?0时，满足
11Cir?i2的i?2,3,L,10共9个；当??r?1时，满足Cir?i2的i?2,3,L,10共9
2212r个；当??r?2时，满足Ci?i的i?2,3,L,10共9个；当??r?3时，满足
211Cir?i2的i?3,4,5共3个；当??r?4时，满足Cir?i2的i?4,5,6共3个；依次
22验证得
? ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ P(?)
3 16 3 16 3 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 24 1 48311177 ?(3?4?5?6?7?8)??9??10??161624482412r试题解析：∵Ci?i，
2E??(0?1?2)?当i?2时，
1212i(i?1)12521i?12i?23C?C?1?i，Ci?Ci?i?i，Ci?Ci??i，C5?，
222220iii12i的解为r?0,1,L,i． 2i?1r?1r当6?i?10,i?N*，Ci?Ci?r?，
2i(i?1)(i?2)123?i?i?3,4,5可知： 由Ci?6212r当r?0,1,2,i?2,i?1,i时，Ci?i成立，
21212r3r当r?3,L,i?3时，Ci?Ci?i（等号不同时成立），即Ci?i．
22∴当2?i?5,i?N*时，Ci?r? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第 19 页 共 20 页
P(?)
3 16 3 16 3 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 24 1 48 ∴E??(0?1?2)?311177?(3?4?5?6?7?8)??9??10??． 16【考点】数学期望 【详解】
请在此输入详解！
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