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习题课(五) (函数与方程) 教学过程
复习
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根就是二次函数y=ax2+b+c的函数值y=0时自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴的交点的横坐标.正由于方程的实数根就是函数值y=0时自变量x的值，所以我们也把这个实数根称为对应的函数的零点. 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点，函数零点的求法可以通过解方程f(x)=0而得到(代数法)，也可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点(几何法).
如果一个连续函数y=f(x)对于实数m,n,m＜n，有f(m)·f(n)＜0，那么一定存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0.二分法就是利用这个性质，多次缩小方程的根所在区间，直到这个区间左右端点的近似值在精确度的要求相等，那么就得到了方程的近似解. 导入新课
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考经久不衰的热点和重点.函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.
函数的思想与方程的思想密切相关，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要. 一元二次方程根的分布与方程的关系也很重要，虽然它体现的算法思想并不典型，但作为高中阶段的学习还是很重要的，它的基本思想方法就是数形结合思想. 解方程是我们常常遇到的问题之一，但能求出其精确解的方程毕竟不多，在实际问题中其实也只要求出符合一定精确度的解即可. 推进新课 基础训练
1.二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1 2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 不求a、b、c的值，可以判断，方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是( ) A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(-∞,3)
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两实根一个小于１，另一个大于１，则实数k的取值范围是__________.
4.方程x3-x2+kx=0在区间(1,2)内有且仅有一个实根，则k的取值范围是___________. 解答：1.
C 作出函数y=x2-4x+3的图象(如图1所示)，易求得各点坐标为A(1,0),B(3,0)，C(0,3)，得△ABC的面积S△ABC=
1×2×3=3. 2中鸿智业信息技术有限公司
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图1
2.A 由根的存在性原则，若m、n为实数，且m＜n，函数f(x)满足f(m)·f(n)＜0，则必存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0.
因为f(-3)=6,f(-1)=-4，于是f(-3)·f(-1)＜0，故必存在x0∈(-3,-1)，f(x0)=0，即二次方程2
ax+bx+c=0在区间(-3,-1)上有一个根.
同理可知，方程在区间(2,4)上也有一个根.
3.方程的根就是函数的零点，于是可将方程根的问题转化为函数问题，研究其图象与x轴的交点.据此，可将函数设为f(x)=2kx2-2x-3k-2.
由于二次项系数是参数，故要分成k=0和k≠0两种情况进行讨论.又由题意知，方程有两个实根，于是对应的函数图象与x轴应有两个交点，故k≠0，此函数为二次函数. 根据开口方向，可将k分成k＞0和k＜0两种情况： ①k＞0(开口向上)
图象与x轴有两个交点，分别在(1,0)的左边和右边，与对称轴的位置无关，于是只须满足f(1)＜0.(图2)
图2 图3
故2k-2-3k-2＜0，
即k＞-4，又因为k＞0， 于是k的取值范围是k＞0. ②k＜0(开口向下)
图象与x轴有两个交点，分别在(1,0)的左边和右边，与对称轴的位置无关，于是只须满足f(1)＞0.(图3)
故2k-2-3k-2＞0，
即k＜-4，又因为k＜0， 于是k的取值范围是k＜-4.
综上所述，k的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
点评：本题也可以不讨论k＞0和k＜0，直接一次性解k·f(1)＜0得到. 4.方程x3-x2+kx=0可化成x(x2-x+k)=0，因为方程在区间(1,2)内有且仅有一个实根，一元
2
二次方程x-x+k=0在区间(1,2)内有且仅有一个实根，
令f(x)=x2-x+k，由于方程x2-x+k=0在区间(1,2)不可能有两个相等的实根， 所以f(1)·f(2)＜0，得k(2+k)＜0，解得-2＜k＜0. 所以k的取值范围是-2＜k＜0.
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图4
点评：本题如果直接设f(x)=x3-x2+kx，得f(1)·f(2)＜0，则可能会遗留如图4的情况，即在区间(1，2)上有相等的两个实根，所以为了严谨起见，我们按照上面的方法来解. 应用示例
思路1 例1 已知y=f(x)是x的二次函数，f(-
333+x)=f(--x)，f(-)=49，且方程f(x)=0的两222实根之差等于7，求此二次函数的解析式.
分析：二次函数的解析式有三种表示方式： 一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；
顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，其中(m,n)是其图象——抛物线的顶点坐标； 两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程f(x)=0的两根.
求二次函数的解析式，就要用待定系数法，分别求a、b、c或a、m、n或a、x1、x2的值.
解法一：设y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
333+x)=f(--x)，知y=f(x)的图象对称轴是直线 x=-， 222b3 即?=-.①
2a2 由f(-
34ac?b2 这时f(-)的值就是图象顶点纵坐标，即=49.②
24ab24cb2?4ac 又方程f(x)=0两根之差x，(?)??1-x2=(x1?x2)?4x1x2?aa|a|2b2?4ac依题意=7. ③
|a| ∵方程f(x)=0有两实根，b2-4ac＞0. ∴由②知a＜0.由①②③联立的方程组可以化简为
?b?3a,?2 ?b?4ac??19a6,
?2?b?4ac??7a, 解得a=-4，b=-12，c=40. ∴所求二次函数解析式是y=f(x)=-4x2-12x+40.
333+x)=f(--x)，知y=f(x)的图象对称轴是直线x=-，即抛物线y=f(x)22233的顶点横坐标为-；又由f(-)=49知此抛物线顶点纵坐标为49.据此,设
22 解法二：由f(-
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y=f(x)=a(x+
32
)+49(a≠0). 232349)+49=0得x(1,2)=-±?. 22a 解方程a(x+
依题意x1-x2=2?49=7,解得a=-4. a ∴所求二次函数解析式是
32
)+49=-4x2-12x+40. 2333 解法三：由f(-+x)=f(--x)，知y=f(x)的图象对称轴是直线x=-.
222 y=f(x)=-4(x+
∵抛物线y=f(x)与x轴两交点关于其对称轴对称，
∴由方程f(x)=0两根之差等于7，可知两根是 x1=-
3737?=-5,x2=-+=2. 22223)=49,解得a=-4. 2 据此，设y=f(x)=a(x+5)(x-2). 由f(-
∴所求二次函数解析式是y=f(x)=-4(x+5)(x-2)=-4x2-12x+40.
点评：三种解法都是通过列方程(组)，求得解析式中各项系数的值，从而得出结果.由于解法二与解法三较为充分地利用了函数图象的特征，只需要列关于a的一元方程，便可求得结果，简化了运算过程，而解法一需要列关于a、b、c的三元方程组求解，运算量较大. 例2 以x为自变量的二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)
中，m为自然数，它的图象与x轴交于A和B两点(A在原点左边，B在原点右边).求此二次函数的解析式. 分析：求此解析式关键是确定m的值，若设图象与x轴两交点的横坐标分别为x1和x2(不妨设x1＜x2)，则x1、x2是方程-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)=0的两个根，x1＜0,x2＞0??从而确定m的值.
解：根据题意可知方程-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)=0有两个异号实数根. ∴????0,?x1x2?0,???0,
?x1x2?0,22??(2m?2)?4(m?4m?3)?0, 即?2??m?4m?3?0,(1) (2) 由①解得m＜2. 又∵m是非负整数， ∴m=0或1.
将m=0或1分别代入②验证： ∵当m=0时，m2+4m-3=-3＜0，适合.
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