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当m=1时，m2+4m-3=2＞0，不适合，应舍去. ∴m=0.
所求二次函数解析式为y=-x2+2x+3.
点评：(1)本题遇到了一元二次不等式m2+4m-3＜0，由于我们现阶段不研究这样的不等式，所以采取了把m=0或1分别代入验证的方法，回避了解一元二次不等式的问题，要认真体会这种处理问题的方法.对于已补充过一元二次不等式解法的学校也可直接由不等式m2+4m-3＜0解出m的范围.
(2)解此题的关键是挖掘出隐含条件：Δ＞0且x1x2＜0及m为自然数这一限制条件. 例3 方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，求实数a的取值范围.
分析：这是一个关于一元二次方程根的分布(区间根)的问题，可以运用求根公式、韦达定理及二次函数图象三种方法求解. 解法一：运用求根公式.
2a?4a2?16 方程x-2ax+4=0的两根为x==a±a2?4,要使两根均大于1，只需要
22
小根a-a2?4＞1即可. 解之得2≤a＜
5. 2 解法二：运用韦达定理.
设x1、x2为方程x2-2ax+4=0的两根，则有 x1+x2=2a,x1x2=4. ①
要使原方程x2-2ax+4=0的两根x1、x2均大于1，则需满足
?(x1?1)?(x2?1)?0,? ?(x1?1)(x2?1)?0,
???0.? 将①代入上述不等式时，解之得2≤a＜ 解法三：运用二次函数的图象. 设f(x)=x2-2ax+4,
则图象需如图5所示：
5. 2
图5
由图可知
????0?5? ?f(1)?0?2?a?.
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点评：解法一运用求根公式求解，思路比较清晰，但不等式难解；解法二运用韦达定理
?x1?x2?2,?求解，可能列出错误不等式组：?x1x2?1,来求解，解法三运用数形结合思想求解较简
???0?洁，二次方程f(x)=ax2+bx+c的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=?b与区间端点的关系. 2a 例4 已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0}和B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2}.如果A∩B≠?，求实数m的取值范围. 分析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是：“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2),有公共点，求实数m的取值范围.”而此问题可以转化为一元二次方程区间根问题来求解.这种数学符号与数学语言的互译，是必须具备的一种数学素质.
?y?x2?mx?2, 解：联立方程组?消去y得x2+(m-1)x+1=0,x∈［0,2］.
?x?y?1?0,(0?x?2), 将题目中的问题转化为方程x2+(m-1)x+1=0在区间［0,2］内有解. 设f(x)=x2+(m-1)x+1，则f(0)=1＞0.如图6甲、乙所示，
图6
???0,?m?1? ∴f(2)≤0或?0???2,
2???f(2)?0, 解得m≤-
33或-＜m≤-1,即m∈(-∞,-1］. 22 点评：一元二次方程区间根的问题一般不宜采用求根公式或者韦达定理来求解，而是利
用二次函数图象特征的关系列不等式组来求解.对于本题，由于转化成区间根的问题后只是指出了方程在特定区间上有解，所以还要讨论解的具体分布，因此有两种情况. 例5 已知f(x)=x3+2x2-3x-6. (1)求f(1)，f(2);
(2)方程f(x)=0在区间(1,2)上是否存在根.若不存在，说明理由；若存在求出这个根(精确到0.1).
分析：(1)用区间根理论确定方程根的个数及根所处的区间； (2)根据⑴的结论用二分法求解. 解：(1)f(1)=1+2-3-6=-6,f(2)=23+2·22-3·2-6=4.
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(2)由⑴可知，方程f(x)=0在区间(1,2)上必存在根， 利用二分法，先确定根所在的初始区间为(1,2)， f(1)=-6＜0,f(2)=4＞0,∴x∈(1,2). f(1.5)=-2.625＜0,f(2)=4＞0,∴x∈(1.5,2). f(1.5)=-2.625＜0,f(1.75)≈0.234 4＞0,∴x∈(1.5,1.75). f(1.625)≈-1.302 7＜0,f(1.75)≈0.234 4＞0,∴x∈(1.625,1.75). f(1.687 5)≈-0.561 8＜0,f(1.75)≈0.234 4＞0,∴x∈(1.687 5,1.75). f(1.718 75)≈-0.170 7＜0,f(1.75)≈0.234 4＞0,∴x∈(1.718 75,1.75). f(1.718 75)≈-0.170 7＜0,f(1.734 375)≈0.030 08＞0,∴x∈(1.718 75,1.734 375). ∵最后一个区间的左右端点精确到0.1的近似值都是1.7， ∴所求方程的根约为1.7.
点评：若方程有实根，且又不是整数根，一般情况下可将方程的根限制在某个两个连续整数之间〔若f(n)·f(n+1)＜0(n∈Z)，则方程在区间(n,n+1)内至少有一个实根〕，这样方便计算，然后再用二分法求方程的近似根.在计算过程中，要依据给定的精确度，及时检验所得区间的左右端点的近似值是否相等，由此决定是停止计算还是继续进行. 例6 求方程3x+
x=0的近似解(精确到0.1). x?11+1=0， x?1 分析：用数形结合法及二分法求解. 解：原方程可化为3x- 即3x=
1-1. x?11-1的简图. x?1 在同一坐标系中，分别画出函数g(x)=3x与h(x)= 如图7所示.
图7
g(x)与h(x)的图象交点的横坐标位于区间(-1,0)，且只有一个交点.所以原方程只有一解x=x0.
令f(x)=3x+
x1=3x-+1.
x?1x?1 ∵f(0)=1-1+1=1＞0， f(-0.5)=
13-2+1=1
1?33＜0,
∴x0∈(-0.5,0).
用二分法求解如下：
f(-0.5)≈-0.4227＜0,f(0)=1＞0,x∈(-0.5,0),
f(-0.5)≈-0.4227＜0,f(-0.25)≈0.4265＞0,x∈(-0.5,-0.25),
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f(-0.5)≈-0.4227＜0,f(-0.375)≈0.0623＞0,x∈(-0.5,-0.375),
f(-0.4375)≈-0.1594＜0,f(-0.375)≈0.0623＞0,x∈(-0.4375,-0.375). ∵最后一个区间左右端点的精确到0.1的近似值为 -0.4375≈-0.4,-0.375≈-0.4 ∴原方程的近似解为x≈-0.4(精确到0.1).
点评：用函数图象确定方程f(x)=0根的分布情况，一般来说，不是直接画出y=f(x)的图象，而是将y=f(x)适当分解成g(x)=h(x)形式，其中g(x),h(x)的图象易画.本题就是将f(x)=0分离成3x=
11-1形式，又g(x)=3x,h(x)=-1函数图象都比较好画，这样只要看它们交x?1x?1点的个数即可以确定原方程的根的个数，交点的横坐标所在区间，就是方程的根所在的区间.
思路2
例1 已知抛物线y=x2-2(m-1)x+(m2-7)与x轴有两个不同的交点， (1)求m的取值范围;
(2)若抛物线与x轴的两个交点是A、B，且点B的坐标为(3，0)，求出A点的坐标、抛物线的对称轴和顶点坐标.
分析：(1)抛物线与x轴有两个不同的交点，就是抛物线解析式对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，因此，由根的判别式Δ＞0，可得到m的取值范围；
(2)抛物线与x轴的交点坐标为(3,0)，即对应二次函数的一个零点，由此解出m，其他问题易解. 解：(1)∵抛物线y=x2-2(m-1)x+(m2-7)与x轴有两个不同的交点， ∴方程y=x2-2(m-1)x+(m2-7)有两个不相等实数根. ∴Δ=4(m-1)2-4(m2-7)=-8m+32＞0. ∴m＜4. (2)∵抛物线y=x2-2(m-1)x+(m2-7)经过点B(3,0)， ∴9-6(m-1)+m2-7=0. 即m2-6m+8=0. 解得m=2或m=4. 由(1)知m＜4， ∴m=2. ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 令y=0，得x2-2x-3=0， 解之得x1=-1，x2=3， ∴A点的坐标为(-1,0). 又y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴顶点坐标为(1,-4)，对称轴为直线x=1.
点评：在第(2)小题中，求出m有两个解，但由第(1)小题中m的限制条件，另一解要舍去.
例2 求证：无论a取什么实数，二次函数y=x2+ax+a-2的图象都与x轴相交于两个不同的点，并求出这两点间距离最小时的二次函数解析式. 分析：要证明二次函数图象与x轴有两个交点，只要证明相应的一元二次方程有两个不相等的实数根.二次函数图象与x轴有两交点，求两交点间的距离，可以转化为对应一元二次方程两根差的绝对值，再用韦达定理及二次函数的最值知识求出a的值. 解：令x2+ax+a-2=0. ∵Δ=a2-4(a-2)=a2-4a+8=(a-2)2+4，
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