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∴无论a为任何实数，均有Δ＞0. ∴此二次函数必与x轴交于两个不同的点. 设这两个不同交点为A(x1,0),B(x2,0)， 则x1+x2=-a,x1·x2=a-2, ∴交点之间的距离为
2 |AB|=|x1-x2|=(x1?x2)?(x1?x2)2?4x1x2?a2?4(a?2)?(a?2)2?4.
∴当a=2时，|AB|最小=4=2.
∴此时函数的解析式为y=x2+2x.
点评：利用韦达定理求出二次函数y=x2+ax+a-2的图象与x轴两交点之间的距离，再用配方法求出a取何值时，距离最小，一般来说不要解一元二次方程求交点，可直接应用求根公式得|x1-x2|=
?. |a| 例3 同思路1的例4.
例4 若二次函数y=-x2+mx-1的图象与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围.
分析：先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为求方程组的解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，通过不等式组求得m的范围. 解：线段AB的方程为x+y=3(0≤x≤3)， 由题意得方程组
?x?y?3(0?x?3),(1) ? 2(2)?y??x?mx?1, 有两组实解，
①代入②得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)有两个实根， 令f(x)=x2-(m+1)x+4.
因此问题转化为二次函数f(x)=x2-(m+1)x+4在x∈［0,3］上有两个实根，故有
???(m?1)2?16?0,?m?1??3,?0? ? 2?f(0)?4?0,???f(3)?9?3(m?1)?4?0. 故m的取值范围是(3,
10］. 3 点评：本题解法体现了函数与方程的思想：从列方程(组)开始，通过消元得到一元方程，对这个方程根的研究转化为二次函数f(x)在［0,3］的实根，又转化为二次函数f(x)在［0,3］上与x轴有两个交点的问题，最后建立m的不等式组求出m，整个解题过程充满了对函数、方程和不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程思想的应用.
本题在得到方程-x2+(m+1)x-4=0(0≤x≤3)有了两个实根后，还可用下列函数思想求解. ∵x=0不是方程的根， ∴x≠0.
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∴两边同除以x得m= 其与x轴有两个交点. ∵设函数μ=x+
4+x-1,x∈(0,3］. x4-1，其在(0,2］为减函数， x ∴μ≥3，
当x∈［2,3］时为增函数， ∴3≤μ≤
1010,即3≤m≤. 33 巩固训练
1.若二次函数y=x2-2x-m与x轴无交点，则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.二次函数y=7x2-(k+13)x+k2-k-2的图象与x轴的两个交点分别在开区间(0,1)与(1,2)内，则实数k的取值范围是______________.
3.设k∈R,x1、x2是方程x2-2kx+1-k2=0的两个实根，则x12+x22的最小值是 …( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 4.判断函数f(x)=x3+x-2有几个零点.
解答：1.A 由题意，二次函数y=x2-2x-m与x轴无交点，即二次函数无零点，所以对应的二次方程x2-2x-m=0无实数根，故Δ＜0.可得Δ=4+4m＜0， 解此不等式得：m＜-1.
而一次函数y=kx+b(k≠0)的图象所经过的象限是由k、b的正负决定的. 又因为m＜-1，∴y=(m+1)x+m-1中，m+1＜0，m-1＜0，所以图象必不经过第一象限. 2.由题意二次函数的图象与x轴的两个交点分别在开区间(0,1)与(1,2)内，
令f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，其图象为开口向上的抛物线，可画出图象如图8所示：
图8
由图象可列出不等式：
?f(0)?0,? ?f(1)?0,
?f(2)?0,??k2?k?2?0,?2 即?7?k?12?k?k?2?0,
?28?2k?26?k2?k?2?0,??k?2或k??1,? 解得??2?k?4,即3＜k＜4或-2＜k＜-1.
?k?3或k?0,? 所以实数k的取值范围是(3,4)∪(-2,-1).
3.C 由于x1、x2是方程x2-2kx+1-k2=0的两个实根，所以判别式Δ≥0，
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∴Δ=(2k)2-4(1-k2)=8k2-4≥0，得k2≥
1. 2
由韦达定理可得??x1?x2?2k,?x1?x2?1?k,2 所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4k2-2(1-k2) =6k2-2, 由于k2≥
1，∴6k2≥3，故6k2-2≥1， 2 所以6k2-2的最小值为1，即x12+x22的最小值是1. 点评：本题容易忽略Δ≥0这个条件，在计算出x12+x22=6k2-2后，由于6k2≥0，所以6k2-2≥-2，从而得到6k2-2的最小值为-2，即x12+x22的最小值是-2，把答案错误地选为A. 4.解：方法一：试根法. 令x=1，则1+1-2=0, ∴方程x3+x-2=0必有根是1. 即x3-x2+x2-x+2x-2=0. ∴(x-1)(x2+x+2)=0.
127)+］=0. 2417 而(x+)2+＞0.
24 ∴(x-1)［(x+
∴方程x3+x-2=0只有一个根，
故函数f(x)=x3+x-2有一个零点. 方法二：因式分解法. ∵f(x)=x3+x-2=(x3-1)+(x-1) =(x-1)(x2+x+1)+(x-1) =(x-1)(x2+x+2)
127)+］. 2417 而(x+)2+＞0,∴函数f(x)有一个零点.
24 =(x-1)［(x+
方法三：函数图象法.
在同一平面直角坐标系中，分别画出函数f(x)=x3及g(x)=-x+2的图象(图9)，从示意图中看出两个函数的图象有且只有一个交点，故函数f(x)=x3+x-2有一个零点.
图9
点评：本题有多种解法，显然利用图象的方法最简单，所以数形结合的思想方法是一个
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十分有用又十分重要的方法. 课堂小结
这节课通过对函数与方程的有关问题的复习，进一步巩固了函数的零点与方程的根的有关概念和它们的关系，对一元二次方程与二次函数要深刻理解并会灵活应用.对二分法这个解方程近似解的方法，首先是要理解这个方法的原理，然后才是利用二分法求解.我们对函数的图象必须足够重视，能用有关函数的图象和性质解决实际问题，对常见的平移、对称变换方法要熟练掌握. 作业
1.若函数y=f(x)对一切实数x都有f(2+x)=f(2-x)成立，且方程f(x)=0恰有4个不同的实根，则4个根的和为____________.
2.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的公共点恰有一个在原点右侧，求m的取值范围.
3.设f(x)=x2-2ax+2，当x∈［-1,+∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围. 4.求方程lnx+x-3=0的近似解(精确到0.1). 解答：
1.若函数y=f(x)对一切实数x都有f(2+x)=f(2-x)成立，则函数的图象关于直线x=2对称，而方程f(x)=0的根就是函数y=f(x)的零点.
方程有4个不同的实根，即函数有4个不同的零点，按大小顺序分别设为x1,x2,x3,x4,也就是说函数的图象与 x轴有4个不同的交点，由于图象的对称轴为直线x=2， 所以
x1?x4x2?x3?=2，得x1+x2+x3+x4=8. 221,0)，这个交点在原点右侧，所以3 答案：8
2.(1)当m=0时，f(x)=-3x+1，图象与x轴的交点为(
m=0符合条件.
(2)当m≠0时，函数f(x)为二次函数，若函数的图象与x轴的公共点恰有一个在原点右侧，则可能是一个交点在原点右侧，另一个在原点左侧(图10(1))或正好是原点，也可能图象与x轴切于正半轴(图10(2)).
图10
①若函数的图象与x轴的一个交点在原点右侧，另一个在原点左侧， 则mf(0)＜0，得m＜0. 思考:
为什么是mf(0)＜0而不是f(0)＜0？ 解答：因为mf(0)＜0是:开口向上时， m＞0且f(0)＜0;开口向下时，m＜0且f(0)＞0,这两种情况合并而来的，所以不是f(0) ＜0. ②图象与x轴切于正半轴
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