新课标高级中学数学必修二第四章圆与方程精彩资料例题含规范标准答案

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?直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴

∴所求切线方程为

?3k1?k2?2，∴k??25 525(x?3)。 522(3)设圆的切线方程为y??x?b，代入圆的方程。整理得，2x?2bx?b?4?0，∵直线与圆相切

y??∴??(?2b)2?4?2(b2?4)?0，解得b??22。

y?22?0。

2∴所求切线方程为x?小结：利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线，当然对于圆也适用。 例2：已知点P(x0,y0)在圆x?y2?Dx?Ey?F?0的外部，过P作圆的切线，切点为M，求证

PM?x220?y0?Dx0?Ey0?F。

证明：如图7-53-1，圆心C(?D2,?E2)，

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半径

1D2?E2?4F， 2DECP?(x0?)2?(y0?)2

22CM?PM?CP?CM22由勾股定理得

D2E2D2?E2?4F?(x0?)?(y0?)?22422?x0?y0?Dx0?Ey0?F

yNCMPOx图7-53-1//

小结：(1)此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。 (2)以

CP为直径的圆与圆C相交于M、N两点，则M、N为切点。若圆C的方程为x2?y2?r2，则两切点连线所在的直线方程为

2x0x?y0y?r2。

例3：从圆外一点P(a,b)向圆x?y2?r2引割线，交该圆于A、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。

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解：如图7-53-2，设连接OM，OM∵OMAB的中点M(x,y)，

?(x,y)，PM?(x?a,y?b)，

?PM，∴OM?PM?0，

即(x,y)(x?a,y?b)?0 ∴x(x?a)?y(y?b)?0

22∴x?y?ax?by?0，(?r?x?r)

PyAOMxB图7-53-2

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小结：此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程，即设出割线方程，和圆联立方程组，由韦达定理建立中点坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。

备选例题：

例4：已知对于圆x*

2?(y?1)2?1上任意一点P(x,y)，不等式x?y?m?0恒成立，求实数m的取值范围。