2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计

§2.3.2 《双曲线的简单几何性质》教学设计

清河林业局高级中学 王会玲

一、教材分析

(一).教材中的地位及作用

通过方程研究曲线的性质是解析几何的主要内容。本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质，这体现了解析几何通过代数方法研究几何图形性质的特点，也就是坐标法。这节课也是在渗透这种思想方法。 (二).教学目标

1. 知识与技能： 能类比椭圆的几何性质的研究方法，探究并掌握双曲线的简单几何性质。

2．过程与方法：能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线。

3．情感态度与价值观：体会双曲线性质的研究过程和方法，体会类比、归纳、猜想、概括等逻辑思维方法；继续体会解析几何通过代数方法研究几何图形性质的思想。 (三).教学重、难点

1. 教学重点：双曲线的简单几何性质。 2. 教学难点：双曲线的渐近线

(四).教学方式方法：在教学时，与椭圆的几何性质进行类比，让学生讨论、归纳。在这个过程中结合大纲中的要求，培养学生运用类比的方法，提高抽象概括能力及提高应用意识。培养学生学会观察问题、研究问题的能力，具体采用自主学习，合作探究的学习方式。 二、教学程序 (一).设计思路

复习椭圆的几何性质 通过类比、归纳 从代数方程和几何图形入手 及特殊到一般的规律探索 具体探究双曲线的几何性质突出重难点 加强应用 深化知识、巩固提高 (二).教学情境设计：

- 1 -

基本 流程 问 题 2设计意图 师生活动 1.椭圆x2y?复 习 回 顾 2516?1上的一点到左焦设置学生较为熟点距离为4，则其到右焦点距离为________。 2.双曲线x?y?1上一点到左91622由学生思考完成问题，复习双曲线的定悉的问题，起到既义及标准方程。 巩固重点知识又能初步体会可类比椭圆知识解决双曲线问题的思想方法。 回顾椭圆的以小组为单位展 焦点距离为7，则其到右焦点距离为________。 类 比 引 入 你能通过类比探究出双曲线的几何性质吗?（以表格的形式） 基本性质，继续延示表格的完成情况，指用类比的方式引出共性问题，作为后面出讲演学习的内讲解内容时的重点。 容。 利用类比，归 研究焦点坐标在x轴上的双曲新知 纳等数学思想从合作探究的教学方式。 线的简单几何性质 探究 两个角度加以说明。 ①范围： 22y 问题1：椭圆x??1，由于2516 222y2x合 x?25(1?16)?0,y?16(1?25)作 所以，则x,y的取值范围是____。 探 究 x2y2双曲线??1的取值范围 916 ___________.在直线___________ 和__________之间没有图像。 x2y2双曲线2?2?1(a>0,b>0)的范围 ab 是______,几何解释观察图像说明。 学生先通过研究解不等式的角度，求出设置使学生体会双曲线的范围，在通过类比的方式研究几何画板从几何方面给出解释。同时体会范范围，同时体会从围对画双曲线的作用。 两道小题的特殊到一般的归纳学习的过程。 - 2 -

比 直观观察后，以熟悉的问题入22问题2：椭圆x?y?1对称轴为手从对称坐标的2516角度探究后，进一_______和_____,对称中心为____。 步理解曲线与方22程的关系，体会解双曲线x?y?1是以____为对 916析几何中代数与称轴,______为对称中心；双曲线的几何的统一美。 ②对称性： 对称中心叫做双曲线的______。 类比椭圆，能否证明其对称性？ ③顶点： 问题3：椭圆x2学生首先回顾旧的知识，体味双曲线是否也有相应的性质，直观的从图像上认识，后类比椭圆对称性的证明给出严格证明。 25?y216?1与对称轴x轴交于____________点，与y轴交于__________点，则其顶点坐标为_______________。双曲线x2y2??1的顶点坐标是916______________。 与椭圆比较，双曲线的顶点有几个？坐标是什么？为什么（0，-b），(0,b)不能称做顶点？ 椭圆的长轴、短轴，双曲线x2y2??1(a>0,b>0)相应的有： a2b2应用类比解决问题的过程中理解巩固圆锥曲线顶点的定义，及解析几何中求交点时解方程组的办法。归纳出双曲线与椭圆交点的个数的不同。引出实轴虚轴的概念，对其说明为后来研究渐近线的内容做铺垫。 学生独立完成设置的问题，逐步的解决问题，教师配合重点解决虚轴端点问题。其中涉及到的概念可由学生齐读，教师将其在黑板上板书。 线段A1A2叫做_________长为_________,半实轴长为________。 线段B1B2叫做_________长为_________,半实轴长为________。 - 3 -

知 探 究 ④离心率： 22y 问题4：椭圆x??1的离心率2516 e=______，椭圆中a>c,离心率的范22 围是______。双曲线x?y?1的离心率的内容相对简单，在教学时重点在于让学生通过类比椭圆的范围及对椭圆形状的影响，采用几何画板演示916使学生对双曲线离心率是___________。 的图像及a,b,c的定义：双曲线的焦距与实轴长的比 关系印象更为深叫做双曲线的离心率；其范围是刻。 ______。 思考1.借助a,b,c的关系，用a,b表示离心率？ 2.离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么学生通过回答具体问题结合离心率概念将问题研究清楚。通过几何画板演示，得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大。而用a,b表示离心率也为后面学习渐近线做准备。在学生探究过程中，老师给与恰当总结点拨。 几何性质？如何刻画？ 新 渐近线： 知 探 究 新 知 探 究

1.引入 2.如何求取渐近线的方程 3. 在坐标系中，双曲线与渐近线的位置关系如何，从方程组的角度证明这一结论。考虑如何画这种模式下的双曲线的简图。 4．探究双曲线方程与渐近线方 程的关系 5.等轴双曲线 由学过的椭圆与直线交点相似的问题入手，即从已知到未知逐步深入的探究模式；为下面学习渐近线知识做铺垫，也将直线与曲线位置关系问题用方程组这一代数问题解决几何问题的方法继续得以体现；探究点的设置是为让学生体会数学知识在学习时的严谨性。 有学生在解方程组时，引发关于双曲线与此直线的位置关系的思考，复习两点式求直线方程，及简便方法记忆渐近线方程，加深学生理解渐近线方程。通过学生自主探究后，理解共渐近线时方程的形式。 - 4 -