即
11＋＞0， ax－12
ax＋1x即＞0，则a＞1. x2a－1
又∵x＞0，∴a＞1.
∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝
?fx????K，f，fx≤K，
x＞K.
给出函数f(x)＝2
x＋1
－4，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)
x＝f(x)，则( )
A．K的最大值为0 C．K的最大值为1
B．K的最小值为0 D．K的最小值为1
解析：选D 根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．
令2＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t＋2t＝－(t－1)＋1，可得f(t)的最大值为1， ∴K≥1，故选D.
1?1?a?2?b1
2．已知实数a，b满足＞??＞??＞，则( )
2?2??2?4A．b＜2b－a C．a＜b－a
B．b＞2b－a D．a＞b－a
x2
2
1?1?a?2?2a?2?b?2??1?a?2?b解析：选B 由＞??，得a＞1，由??＞??，得??＞??，故2a＜b，由??2?2??2??2??2??2??2?
b1b?2?b?2?4
＞，得??＞??，得b＜4.由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜2，故1＜a＜2,2＜b＜4. 42?2??2?
对于选项A、B，由于b－4(b－a)＝(b－2)＋4(a－1)＞0恒成立，故A错误，B正确；
2
2
?1?2?1?2
对于选项C，D，a－(b－a)＝?a＋?－?b＋?，由于1＜a＜2,2＜b＜4，故该式的符号不确
?2??4?
定，故C、D错误．故选B.
3．设a＞0，且a≠1，函数y＝a＋2a－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值． 解：令t＝a(a＞0，且a≠1)，
则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)－2(t＞0)．
22xxx?1?x①当0＜a＜1，x∈[－1,1]时，t＝a∈?a，?，
?
a?
5
?1?此时f(t)在?a，?上为增函数．
?
a?
?1??1?2
所以f(t)max＝f??＝?＋1?－2＝14.
?a??a?
11?1?2
所以?＋1?＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.
53?a?
?1?x②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝a∈?，a?，
?a?
?1?此时f(t)在?，a?上是增函数．
?a?
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)． 1
综上得a＝或3.
3
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与基本不等式交汇]设f(x)＝e0＜a＜b，若
x,2
p＝f(
?
ab)，q＝f?
?
a＋b?
2?
?，r＝
fafb，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p C．q＝r＞p
解析：选C ∵0＜a＜b，∴
B．p＝r＜q D．p＝r＞q
a＋b2
＞ab，又f(x)＝e在(0，＋∞)上为增函数，∴f?
abx?a＋b?
??2?
＞f(ab)，即q＞p.又r＝fafb＝ee＝e
a－b2＝q，故q＝r＞p.故选C.
?1?x?1?x5．[与一元二次函数交汇]函数y＝??－??＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
?4??2??1?x解析：令t＝??，
?2?
?1?因为x∈[－3,2]，所以t∈?，8?， ?4??1?232
故y＝t－t＋1＝?t－?＋.
?2?4
13当t＝时，ymin＝；
24当t＝8时，ymax＝57.
?3?故所求函数的值域为?，57?.
?4??3?答案：?，57?
?4?
6
－2＋b6．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．
2＋a(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t－2t)＋f(2t－k)＜0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数， －1＋b所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.
2＋a－2＋1
从而有f(x)＝x＋1.
2＋a1－＋12－2＋1
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
4＋a1＋a－2＋111
(2)由(1)知f(x)＝x＋1＝－＋x，
2＋222＋1
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t－2t)＋f(2t－k)＜0等价于f(t－2t)＜－f(2t－k)＝f(－2t＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t－2t＞－2t＋k. 即对一切t∈R有3t－2t－k＞0， 1
从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－. 31??故k的取值范围为?－∞，－?. 3??
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xxx 7
相关推荐：
loading