椭圆焦点三角形面积公式的应用

椭圆焦点三角形面积公式的应用

x2y2定理 在椭圆2?2?1（a＞b＞0）中，焦点分别为F1、F2，点P是椭圆上任

ab意一点，?F1PF2??，则S?F1PF2?b2tan?2.

y P P 证明：记|PF1|?r1,|PF2|?r2，由椭圆的第一定义得 r1?r2?2a,?(r1?r2)2?4a2.

在△F1PF2中，由余弦定理得：r12?r22?2r1r2cos??(2c)2. 配方得：(r1?r2)2?2r1r2?2r1r2cos??4c2. 即4a2?2r1r2(1?cos?)?4c2.

2(a2?c2)2b2?r1r2??.

1?cos?1?cos?F1 O F2 x 由任意三角形的面积公式得：

S?F1PF2?1sin?r1r2sin??b2??b2?21?cos?2sin?22?b2?tan?.

?22cos22cos??S?F1PF2?b2tan?2.

y2x2同理可证，在椭圆2?2?1（a＞b＞0）中，公式仍然成立.

ab典题妙解

x2y2??1上的一点，F1、F2是其焦点，且?F1PF2?60?，求 例1 若P是椭圆

10064△F1PF2的面积.

x2y2??1中，a?10,b?8,c?6,而??60?.记|PF1|?r1,|PF2|?r2. 解法一：在椭圆

10064?点P在椭圆上，

?由椭圆的第一定义得：r1?r2?2a?20.

在△F1PF2中，由余弦定理得：r12?r22?2r1r2cos??(2c)2.

1

配方，得：(r1?r2)2?3r1r2?144.

?400?3r1r2?144.从而r1r2?S?F1PF2?256. 3112563643r1r2sin?????. 22323x2y2??1中，b2?64，而??60?. 解法二：在椭圆

10064?S?F1PF2?b2tan?2?64tan30??643. 3解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

x2y2??1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若例2 已知P是椭圆

259PF1?PF2|PF1|?|PF2|?1，则△F1PF2的面积为（ ） 2A. 33 B. 23 C.

3 33 D.

解：设?F1PF2??，则cos???S?F1PF2?b2tanPF1?PF2|PF1|?|PF2|?1，???60?. 2?2故选答案A.

?9tan30??33.

x2y2??1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上. 例3（04湖北）已知椭圆

169若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）

A.

9997 B. C. D. 547997或 47b29?；若P是直解：若F1或F2是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长

a4

2

角顶点，设点P到x轴的距离为h，则S?F1PF2?b2tanS?F1PF2?1?(2c)?h?7h, 2?2?9tan45??9，又

?7h?9，h?金指点睛

97.故答案选D. 7y2x2??1上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△F1PF2的面1. 椭圆

4924积为（ ）

A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

x2?y2?1的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积为1时，2. 椭圆4PF1?PF2的值为（ ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 6

x2?y2?1的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积最大时，3. 椭圆4PF1?PF2的值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. ?2

x2F2，4．已知椭圆2?y2?1（a＞1）的两个焦点为F1、P为椭圆上一点，且?F1PF2?60?，

a则|PF1|?|PF2|的值为（ ） A．1

1 B．

3

4 C．

3

2 D．

35. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为90?，△F1PF2的面积是20，离心率为

5，求椭圆的标准方程. 31??，

2|PF1|?|PF2|PF1?PF26．已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，且△F1PF2 的面积是3，准线方程为x??

3

43，求椭圆的标准方程. 3

参考答案

1. 解：?F1PF2???90?,b2?24，?S?F1PF2?b2tan故答案选D.

2. 解：设?F1PF2??，? S?F1PF2?b2tan故答案选A.

3. 解：a?2,b?1,c?3，设?F1PF2??，? S?F1PF2?b2tan?2?24tan45??24.

?2?tan?2?1，??2?45?,??90?，PF1?PF2?0.

?2?tan?2，

?当△F1PF2的面积最大时，?为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，??120?，

2?PF???2. 1?PF2?|PF1|?|PF2|cos??acos120故答案选D.

4． 解：?F1PF2???60?，b?1，S?F1PF2?b2tan?2?tan30??3， 3又?S?F1PF2?13|PF1|?|PF2|sin??|PF1|?|PF2|， 24?433，从而|PF1|?|PF2|?. |PF1|?|PF2|?343故答案选C.

5. 解：设?F1PF2??，则??90?. ? S?F1PF2?b2tan?2?b2tan45??b2?20，

ca2?b25又?e??， ?aa3b25205?1?2?，即1?2?.

99aa解得：a2?45.

x2y2y2x2??1或??1. ?所求椭圆的标准方程为

452045206．解：设?F1PF2??，?cos??S?F1PF2?b2tan1??,??120?.

2|PF1|?|PF2|PF1?PF2?2?b2tan60??3b2?3，?b?1.

4

c2?b2c2?11433a243又?，即. ??c???3??ccc33c3?c?3或c?3. 322x2?y2?1； 当c?3时，a?b?c?2，这时椭圆的标准方程为4x223322当c?时，a?b?c?，这时椭圆的标准方程为?y2?1；

4333但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，?为最大，??60?，不合题意.

x2?y2?1. 故所求的椭圆的标准方程为4

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