2019年全国各地中考数学压轴题汇编（四川专版）
几何综合
参考答案与试题解析
1．（2019?成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E． （1）求证：
＝
；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．
证明：（1）∵OC＝OB ∴∠OBC＝∠OCB ∵OC∥BD ∴∠OCB＝∠CBD ∴∠OBC＝∠CBD ∴
（2）连接AC，
∵CE＝1，EB＝3， ∴BC＝4 ∵
∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB
∴△ACE∽△BCA ∴
2
∴AC＝CB?CE＝4×1 ∴AC＝2， ∵AB是直径 ∴∠ACB＝90° ∴AB＝∴⊙O的半径为
＝2
（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°
∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA ∴△APC∽△CPB ∴
2
∴PC＝2PA，PC＝PA?PB ∴4PA＝PA×（PA+2∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC
∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90° ∴△PHO∽△BCA ∴
2
）
即
∴PH＝∴HQ＝
，OH＝
＝
∴PQ＝PH+HQ＝
2．（2019?自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G． ①线段DB和DG的数量关系是 DB＝DG ； ②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．
（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G． ①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．
解：（1）①DB＝DG，理由是：
∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，
由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝45°， ∴∠G＝45°， ∴∠G＝∠CBD＝45°， ∴DB＝DG； 故答案为：DB＝DG； ②BF+BE＝
BD，理由如下：
由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG， ∴△FDG≌△EDB（ASA）， ∴BE＝FG，
∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG， Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°， ∴CD＝CG＝CB， ∵DG＝BD＝
BC，
BD；
BD，
即BF+BE＝2BC＝
（2）①如图2，BF+BE＝
理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°， 由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG， 在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠DBG＝∠G＝30°， ∴DB＝DG，
∴△EDB≌△FDG（ASA）， ∴BE＝FG，
∴BF+BE＝BF+FG＝BG，
过点D作DM⊥BG于点M，如图2，
∵BD＝DG，
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