解：（1）证明：连接OD， ∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°， ∵OA⊥CD ∴CE＝DE ∴PC＝PD ∴∠PDC＝∠PCD ∵OC＝OD
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°， ∴PD是⊙O的切线． （2）如图2，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴tanB＝
＝
2
2
2
设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m+（2m）＝10，解得：m＝AC＝2
，BC＝4
，
×4
，
，
∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2∴CE＝4，BE＝8，AE＝2
在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5， ∴CE＝∵
＝
＝4，
∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5， ∴OP＝
2
，PA＝OP﹣OA＝﹣5＝．
（3）AB＝4OE?OP
如图2，∵PC切⊙O于C， ∴∠OCP＝∠OEC＝90°， ∴△OCE∽△OPC ∴
，即OC＝OE?OP
2
∵OC＝AB ∴
即AB＝4OE?OP．
2
8．（2019?宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径OD的长； （3）求线段BM的长．
（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°， ∴∠A＝∠ADO＝30°， ∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°， ∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°， ∵OD是半径， ∴BD是⊙O的切线；
（2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°， ∴OD＝OB， ∵OC＝OD，
∴BC＝OC＝1，
∴⊙O的半径OD的长为1； （3）∵OD＝1， ∴DE＝2，BD＝∴BE＝
， ＝
，
∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O 的割线， ∴BD＝BM?BE， ∴BM＝
＝
＝
．
2
9．（2019?绵阳）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH． （1）求证：△DEF是等腰直角三角形；
（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；
（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC＝∠CAB＝45°，
∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，
∴∠FDE＝∠DFE＝45°， ∴∠DEF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形； （2）设OE＝t，连接OD， ∴∠DOE＝∠DAF＝90°， ∵∠OED＝∠DFA， ∴△DOE∽△DAF， ∴∴
t，
，
又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，
∴△AEF∽△ADG， ∴∴
又∵AE＝OA+OE＝2∴
， ，
， +t，
∴EG＝AE﹣AG＝，
当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE+∠HFE＝45°+45°＝90°， ∴△ADF∽△BFH， ∴
∵AF∥CD， ∴∴∴解得：t1＝∴EG＝EH＝
， ，
， ，t2＝
（舍去），
；
，
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