（3）过点F作FK⊥AC于点K， 由（2）得EG＝
，
∵DE＝EF，∠DEF＝90°， ∴∠DEO＝∠EFK， ∴△DOE≌△EKF（AAS）， ∴FK＝OE＝t， ∴S
＝
．
10．（2019?达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝6，AE＝
，CE＝
，求BD的长．
解：（1）DF与⊙O相切， 理由：连接OD，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴
＝
，
∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴OD⊥DF， ∴DF与⊙O相切；
（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C， ∴△ABD∽△AEC， ∴
，
∴＝，
∴BD＝．
11．（2019?绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． （1）求证：△BFG≌△CDG； （2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足
证明：（1）∵C是∴
，
的中点，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB， ∴∴
， ，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中， ∵
，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD＝AB﹣AD，即BD＝（2r）﹣2， Rt△OEF中，OF＝OE+EF，即EF＝r﹣（r﹣2）， ∵∴
，
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴BD＝CF，
∴BD＝CF＝（2EF）＝4EF， 即（2r）﹣2＝4[r﹣（r﹣2）]， 解得：r＝1（舍）或3，
∴BF＝EF+BE＝3﹣（3﹣2）+2＝12， ∴BF＝2
；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵
，
∴∠HAC＝∠BAC， ∵CE⊥AB， ∴CH＝CE， ∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL）， ∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB， ∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL）， ∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4， ∴AB＝4+2＝6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠BEC＝90°， ∵∠EBC＝∠ABC， ∴△BEC∽△BCA， ∴
2
，
∴BC＝AB?BE＝6×2＝12， ∴BF＝BC＝2
．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是
的中点，
∴OC⊥BD， ∴DH＝BH， ∵OA＝OB， ∴OH＝AD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°， ∴△COE≌△BOH（AAS）， ∴OH＝OE＝1， ∴CE＝EF＝∴BF＝
＝2＝
，
＝2
．
12．（2019?南充）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG． （1）求证：CD⊥CG； （2）若tan∠MEN＝，求
的值；
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