∴点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称。
∵C(0，3)，∴P（2，3）。
②如图，四边形PQAC是等腰梯形时， 设P（m，?m2+2m+3），
过点P作PH⊥x轴于点H，则H（m，0）。
易得△ACO∽△QNP，∴
QHHP。 ?AOOC2QH?m2+2m+3?∵OA=1，OC=3，HP=?m+2m+3，∴，即1312QH??m2+m+1。
3311121∴AQ=AO+OH－QH=m2+m。∴AQ2=m4+m3+m2。
33999又
由
勾
股
定
理
得
，
CP2?m2+?3??m2+2m+3?=m2+m4?4m3+4m2=m4?4m3+5m2。
??由四边形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ2=CP2，
∴m4+m3+m2=m4?4m3+5m2，整理得4m2?19m+22=0，解得m=2或m=当m=2时，由①知CP∥AQ，四边形PQAC是平行四边形，不符合条件，舍去。
当m=??219291911。 4111115时，CP与AQ不平行，符合条件。∴P（，。 ）441625. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tan∠F=
1，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 2
【答案】解：（1）连接OB，
- 41 -
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°。 ∵OA=OB，BA⊥PO于D， ∴AD=BD，∠POA=∠POB。
又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）。 ∴∠PAO=∠PBO=90°。∴直线PA为⊙O的切线。 （2）EF=4OD?OP。证明如下：
∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°。 ∴∠OAD=∠OPA。∴△OAD∽△OPA，∴又∵EF=2OA，∴EF=4OD?OP。 （3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=
设AD=x，∵tan∠F=
2
2
OAOD2
，即OA=OD?OP。 ?OPOA1BC=3（三角形中位线定理）。 2AD1?，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3。 FD22
2
2
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）=x+3，
解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）。∴AD=4，OA=2x﹣3=5。 ∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°。
BC63??。 AC105102
∵OA=OD?OP，∴3（PE+5）=25。∴PE=。
3又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=
26. 如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax+bx+c经过O，D，C三点． （1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？ （3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
2
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【答案】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。 由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。
设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x+4=（8﹣x），解得，x=3。∴AD=3。
∵抛物线y=ax+bx+c过点D（3，10），C（8，0），
2
2
2
2
2?a=???9a+3b=10216?3∴?，解得?。∴抛物线的解析式为：y??x2?x。
64a+8b=01633??b=?3? （2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t。 当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC， ∴
CQCPt10?2t40，即?，解得t?。 ?EAED4513当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
PCCQ10?2tt25，即。 ??，解得t?AEED4574025∴当t?或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似。
137∴
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形
MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点。
由y??x2?2316232322。 x???x?4??得抛物线顶点，则：M（4，）
3333∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段MN必被EC中点（4，3）平分，则
N（4，﹣
14）。②EC为平行四边形的边，则EC3MN，
设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；
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将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38， 此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；
将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26， 此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）。
综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）； ②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，
3214），N3（4，﹣）。 3327. 某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每 周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服
装的收入和所需工时如下表：
服装名称 工时/件 收入（百元）/件 西服 休闲服 衬衣 1 23 1 32 1 41 设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。
(1)请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。 (2)求y与x之间的函数关系式。
(3)问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，
1114x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。 23434（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。
3从工时数方面：由
（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720
?2x?60?由题意得?x?0，解得30≤x≤120。
?360?3x?0?由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服 270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。
28. 已知：如图一，抛物线y?ax?bx?c与x轴正半轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，直线y?x?2经过A、C两点，且AB=2. （1）求抛物线的解析式；
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2
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