②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)．
【答案】解：（1）①如图A，过点M作MN∥BC交AC于点N，
则△AMN∽△ABC，
∵M为AB中点，∴MN是△ABC 的中位线。 ∵BC＝6，∴MN=3。
②如图B，过点M作∠AMN=∠ACB交AC于点N， 则△AMN∽△ACB，∴
MNAM。 ?BCACMN53?，解得MN=。 6245∵BC=6，AC= 45 ，AM=5，∴综上所述，线段MN的长为3或（2）①如图所示：
3。 2
②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。
2. 如图1，点A为抛物线C1：y=x2?2的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．
12- 17 -
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a
交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；
(3)如图2，将抛物线C1向下平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴
于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．
图1 图2
【答案】解：（1）∵当x=0时，y＝－2。∴A（0，－2）。
?b=?2?k=2 设直线AB的解析式为y=kx+b，则?，解得?。
k+b=0b=?2?? ∴直线AB的解析式为y=2x?2。 ∵点C是直线AB与抛物线C1的交点，
?y=2x?2?x1=4?x2=0? ∴?12，解得?（舍去）。 ， ?y=x?2?y1=6?y2=?2??2 ∴C（4，6）。
（2）∵直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E， ∴yD=4，yE=，∴DE=yD?yE=4? ∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。
∵直线x＝a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，
5253?。 22- 18 -
∴yF=2a?2，yG=a2?2。
121∴FG=yF?yG=2a?a2=2。
2 解得a1=2，a2=2+22，a3=2?22。
（3）设直线MN交y轴于点T，过点N作NH⊥y轴于点H。 设点M的坐标为（t,0），抛物线C2的解析式为y=x2?2?m。 ∴0=t2?2?m。∴?2?m=?t2。
121122111∴y=x2?t2。∴P（0，?t2）。
222 ∵点N是直线AB与抛物线C2的交点，
?y=2x?2?x1=2?t?x2=2+t? ∴?1212，解得?（舍去）。 ， ?y=x?ty=2?2ty=2+2t?1?2?2?2 2?2t）∴N（2?t，。
∴NQ=2?2t，MQ=2?2t。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=450。 ∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN。 ∴OT=－t，NT?2NH=2?2?t?，PT=?t+t2。 ∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。
∴?t+t2?2?2?t?，解得t1=?22，t2=2（舍去）。 ∴?2?m=?t2=?1212121?222??2=?4。∴m=2。
3. 如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角平分线，过D点的直线 B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.
（1）请你探究：
ACCDAC1C1D?，是否成立? ?ABDBAB1DB1（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断.
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=8,AB?ACCD?ABDB40，E为AB上一点且AE=5，3- 19 -
CE交其内角角平分线AD与F.试求
DF的值. FA
【答案】解：（1）∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴根据三线合一，得CD=DB。 ∴
ACCD?1?。 ABDB 过点D作DN⊥AB于点H。
∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴C1D=ND。 ∵等边△ABC中，B1C1⊥AC，∴∠B1=300。
AC11C1D ∴。 ??AB12DB1∴
ACCDAC1C1D?，都成立。 ?ABDBAB1DB1 （2）结论仍然成立。证明如下：
如图，ΔABC为任意三角形，过B点作
BE∥AC交 AD的延长线于点G 。
∵∠G=∠CAD=∠BAD，∴BG=AB。 又ΔGBD∽ΔACD ，
ACCDACCD，即。 ??BGDBABDBACCD∴对任意三角形结论仍然成立。 ?ABDB∴
﹙3﹚如图，连接ED。
∵AD为ΔABC的内角角平分线，AC=8,AB?∴由（2）得，
40， 3CDAC83??? 。
40DBAB53AE534025??。 ?5?。∴
EB255333
又∵AE=5，∴EB=AB－AE=
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