CDAE。∴DE∥AC。 ∴ΔDEF∽ΔACF。 ?DBEBDFEFAE5∴???。 FAFCAC8∴
4. 已知抛物线C1的函数解析式为y?ax2?bx?3a(b?0)，若抛物线C1经过 点(0,?3)，方程ax?bx?3a?0的两根为x1，x2，且x1?x2?4。
（1）求抛物线C1的顶点坐标. （2）已知实数x?0，请证明：x?211≥2,并说明x为何值时才会有x??2. xx1（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(my,)，
B(n,y2)是C2上的两个不同点，且满足： ?AOB?900，m?0，n?0.请你用含有
m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA
的函数解析式。
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离
(x2?x1)2?(y2?y1)2）
【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３。∴a＝１ 。
∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=０的两根为x1，x2且x1?x2?4，
∴x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2=b2+12＝４且b＜０。∴b＝－２。 ∴ｙ＝x2?２x?３＝?x?１??４。 ∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）。 （2）∵x＞０，∴x?∴x?211?2?(x?)?0 xx1?2。 x11=0时，即当x＝１时，有x??2。 当x?xx（3）由平移的性质，得C2的解析式为：y＝x2 。
∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。
∵ΔAOB为直角三角形，∴OA2＋OB2=AB2。 ∴m2＋m4＋n2＋n4＝（m－n）2＋（m2－n2）2，
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化简得：m n＝－１。 ∵ＳΔAOB=OA?OB=121m2?m4?n2?n4，m n＝－１， 2＝
∴Ｓ
ΔAOB
1112?m2?n2?2?m2?222m＝
111?1?1(m?)2??m????2?1。 2m2?m?2∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。 ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。
6. △ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的求线段EF的长．
【答案】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE。
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°， 又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE。
∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴△BDF∽△CED。∴∵BD=CD，∴
1时，4BDDF。 =CEEDCDDFCDCE，即。 ==CEEDDFED又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF。∴△BDF∽△CED∽△DEF。
- 22 -
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=
2
2
2
2
2
1BC=6。 22
在Rt△ABD中，AD=AB﹣BD，即AD=10﹣6， ∴AD=8。
11?BC?AD=×12×8=48， 2211S△DEF=S△ABC=×48=12。
4411AD?BD8?624又∵?AD?BD=?AB?DH，∴DH?。 ??22AB105∴S△ABC=
∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD。 ∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF。
又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）。∴DH=DG=∵S△DEF=
2
24。 51124·EF·DG=·EF·=12，∴EF=5。 2258. 如图，抛物线y=ax+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
2
1?a=???a?b+2=0?2。
∴?，解得：??16a+4b+2=0?b=3??2- 23 -
∴抛物线解析式为y??x2?x?2。 当y=2时，?x2?1232123。 x?2?2，解得：x1=3，x2=0（舍去）
2∴点D坐标为（3，2）。
（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，∴P1（0，2）。
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，∴P点的纵坐标为﹣2。
代入抛物线的解析式：?x2?x?2??2，解得：
1232x1?3+413?41，x2?。 223+413?41，﹣2），（，﹣2）。 223+413?41综上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）。
22∴P点的坐标为（（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方。
设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，， ?a2?a?2）①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
123233?1?1PQ=2???a2?a?2?=a2?a。
22?2?2又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°， ∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，
123 a?a Q'CQ'P a 22 ，解得F Q′=a﹣3 =∴，即=COFQ'2FQ'∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣（a﹣3）=3，
CQ=CQ'= CO2+OQ'2=32+22=13 。 ?9+313 此时a=13，点P的坐标为（13，）。
2②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，?a2?a?2＜0，CQ=﹣a，
123233?1?1PQ=2???a2?a?2?=a2?a。
22?2?2- 24 -
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