赣马高级中学2011届高三考点突破专题八 立体几何（1）
019空间平行与垂直：平面及其基本性质．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．两个平面的位置关系．【自我提醒】
1．概括地讲，立体几何是研究什么内容的学科？（研究空间位置关系与数量关系的学科）2.立体几何中平行、垂直关系证明的基本思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？线//线?线//面?面//面，线⊥线?线⊥面?面⊥面。3.你的空间观念成熟了吗？
4.你对于直线、平面的位置关系判断受思维定势影响吗？5.你对于对直线、平面的定义理解准确吗？
6.你对于对判定和性质定理成立的条件重要性认识足吗？【自我测试】
1．给定下列四个命题：
（1）空间四边形的两条对角线是异面直线； （2）空间四边形ABCD中没有对角线；
（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面；（4）过直线外一点作该直线的垂线，有且只有一条；
（5）两条直线互相垂直，则一定共面；
其中正确的是
．
（6）垂直于同一直线的两条直线相互平行；
2．（海南宁夏卷文12）已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ．A. AB∥m
B. AC⊥m
C. AB∥β
D. AC⊥β
3 如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，则下列命题中
（1）直线a,b的公垂线夹在a,b间的线段(公垂线段)，叫做异面直线a,b的距离；（2）过P一定可作直线L与异面直线a , b都垂直；
（3）平行移动两条异面直线a,b中的任一条，它们所成的角就随之变化；（4）和两条异面直线a,b都垂直的直线叫异面直线的公垂线；（5）过P一定可作直线L与异面直线a , b都相交；（6）过P一定可作平面?与异面直线a , b都平行；(7) a?面α，b?面α,则a,b为异面直线；
其中正确的结论是 ．4. (2009年广东卷文)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
.
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ．
5.已知m,n,l是空间三条不同直线，?，?，?为三个互不重合的平面，下面命题：
（1）若l,m是两条异面直线，l//?,m//?,m//?,l//?，则?//?；
（2）若m??,n??,m//?,n//?，则?//?；（3）若m//n，n??，则m//?；（4）若l⊥m，l⊥n， m??，n??，则l⊥?；
（5）对于直线m,n和平面?,?，???的一个充分条件是 m?n,m??,n??；（6）对于任意的直线l与平面?，在平面a内必有直线m, 使m与l垂直；
其中正确的结论是 ．
6.（辽宁卷理11文12）在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线 ．A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条7.下列命题中
（1）若m、n与?所成的角相等，则n∥m；
（2）m?n,?//?,m//??n??；
（3）m?n,?//?,m???n//?；（4）???，???????；（5）m?n,m??,???,则n//?； （6）n??,???,则n//?；（7）?内不共线的三点A,B,C到?的距离相等，则?//? ；
（8）若?//?，l??，则l//?；（9）若l//?,m//?,?//?,则l//m。其中正确的是 ．
8.（江苏卷16）在四面体ABCD中，CB=CD，AD?BD，且E，F分别是AB，BD的中点，
D；求证（I）直线EF?面AC
（II）面EFC?面BCD。
BFEDC
A38
考点突破专题八 立体几何（2）
019空间几何体的面积和体积：【自我提醒】
1.你记得什么叫正三棱柱、正三棱锥、正四面体、圆柱、圆锥等？
2. 分别与正方体、正四面体相关的三个球的半径与棱长之间的关系你清楚吗？长方体的外接球，三
条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的面积、体积的求法你还记得吗？（补形法）3. 求最短距离时的“展开（剪开）、铺平、拉直”是什么意思啊？知道吗？（展开图的应用）4. 什么叫二面角的平面角、线面角？范围是什么？异面直线所成的角如何求？范围是什么？
在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题？向量夹角可以
是钝角，而异面直线的夹角只能是锐角和直角！（附加题）
5. 球的表面积、柱、锥、球的体积公式都记得吗？球的表面积和体积公式. 这些知识你掌握了吗? 三棱柱的体积公式还有个V?Sh的，知道S、h分别指什么吗？
【自我测试】
一、填空题
1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积是 ．122.一个长方体的某三个面的面积分别是2,3,6，这个长方体体积是 ．3. 已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的体积为 cm3．
4. 静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第15题)用一个平面去截正方体，所得截面不可能是 ．
5．已知正六棱柱的底面边长为3cm，侧棱长为3cm,如果用一个平面把六棱柱分成两个棱柱，则所得两个棱柱的表面积之和的最大值为 cm26．（2009上海十校联考）如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a；⑤体积为
2
53a．其中正确的结论是____________．（填上所有正确结论的序号）6A7．设等边?ABC的边长为a，P是?ABC内的任意一点，且P到三边
AB,BC,CA的距离分别为d1,d2,d3，则有d1?d2?d3为定值
3由以上平面图形的特性类比a；2空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面
ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1,d2,d3,d4，则有d1?d2?d3?d4为定值
是 ．
8．（福建卷理15文15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ．
9． （浙江卷理14文15）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，
DA?平面ABC，AB?BC，DA=AB=BC=3，则球O点体积等于___________。DAC10．（南汇区2008学年度第一学期期末理科第15题）在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．这些几何形体是 ．
11. （上海市奉贤区2008年高三数学联考11）正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体.若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为 ．
12.湖面上漂浮着一个丢弃的蓝球，当湖面结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为24，深为8的球坑，则该蓝球的体积是 。
B13．有一根长为6?，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，使铁丝两端落在同一条母线两头上，则铁丝的长度最少为
14．（上海市长宁区2008学年高三年级第一次质量调研10）一个圆锥形的空纸杯上面抹着一个球形的冰淇淋，尺寸如图，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？说明理由
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考点突破专题八 立体几何（1）
【自我测试】
1．（1）2． D. AC⊥β【试题解析】：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然AC?l，但ＡＣ不一定在平面?内，故它可以与平面?相交、平行，故不一定垂直；3答案：（2） 4. D．②和④【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D
5.答案：（1）（5）（6）
6.有无数条答案：D解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：
7.（8）
8.【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理 ，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。【标准答案】
证明：（1）∵E,F分别是AB，BD的中点．
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF∥?面ACD，AD?面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F, ∴BD⊥面EFC，
∵BD?面BCD，∴面EFC?面BCD考点突破专题八 立体几何（2）
【自我测试】
一、填空题
1．解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr.∴S全?2?r?(2?r)?2?r(1?2?)2.解：设长方体共一顶点的三边长分别为a,b,cab?2222,ac?3,bc?6，三式相乘，得
(abc)2?6,abc?6，解得，a=1，b＝2，c＝3，则长方体体积是6.
3.解析：补形成为一个长方体，长方体的对角线是外接圆的直径。设三条棱长分别为x,y,z,则
2=12+32+42，4r2=26，r=xy?3,xz?4,yz?12。解得xyz?12，x?1,y?3,z?4。从而（2r）26。2
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