8.5.3 数列建模问题
核心考点·精准研析
考点一 等差、等比数列简单的实际应用
1.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A.6秒钟 C.8秒钟
B.7秒钟 D.9秒钟
2.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根5尺长的金杖,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”根据上面的已知条件,若金杖由粗到细是均匀变化的,问中间3尺的重量为 ( ) A.6斤
B.9斤
C.9.5斤
D.12斤
,公差为
,则这个多边形的边数为________.
3.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为
4.为了观看2022年的冬奥会,小明打算从2018年起,每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后,他的账户中一共有________元;到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则可取回________元.
1
2
n-1
【解析】1.选B.设需要n秒钟,则1+2+2+…+2≥100,所以≥100,所以n≥7.
2.选B.依题意,金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,记为{an},则a1=4,a5=2,
由等差数列的性质得a2+a4=a1+a5=2a3=6,所以a3=3,所以中间3尺的重量为a2+a3+a4=3a3=9(斤). 3.由于凸n边形的内角和为(n-2)π,
故n+
2
×=(n-2)π.
化简得n-25n+144=0.解得n=9或n=16(舍去). 答案:9
4.依题意,2019年1月1日存款a元后,账户中一共有a(1+p)+a=(ap+2a)(元). 2022年1月1日可取出钱的总数为
a(1+p)+a(1+p)+a(1+p)+a(1+p)
432
=a·
=[(1+p)-(1+p)]=[(1+p)-1-p].
55
答案:(ap+2a) [(1+p)-1-p]
5
1.解答数列应用题的步骤
(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意.
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解.
(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 2.具体解题步骤用框图表示如下
考点二 数列的实际应用
【典例】某商店投入81万元经销某种纪念品,经销时间共60天,市场调研表明,该商店在经销这一产品期
*
间第n天的利润an=(单位:万元,n∈N).为了获得更多的利润,商店将每天获得的
利润投入到次日的经营中,记第n天的利润率bn=b1,b2的值.
(2)求第n天的利润率bn. 【解题导思】 序号
(1)①an=
题目拆解
.例如,b3=. (1)求
an 以分段函数给出,注意变量范围
②bn= , 结合例子b3=求b1,b2的值 ,求b1,b2 结合an= (2)求第n天的利润率bn bn=, 求解,注意bn为分段函数形式 【解析】(1)当n=1时,b1=;
当n=2时,b2=.
(2)当1≤n≤20时,a1=a2=a3=…=an-1=an=1, 所以bn=
=
.
当21≤n≤60时, bn=
=
==.
所以第n天的利润率
bn=
1.若典例中条件不变,求该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该日的利润率.
【解析】当1≤n≤20时,bn=递减,此时bn的最大值为b1=;
当21≤n≤60时,bn==≤=当且仅当n=,即n=40时,“=”成
立. 又因为
<
,所以当n=40时,(bn)max=
.
所以该商店在经销此纪念品期间,第40天的利润率最大,且该日的利润率为2.若典例中条件不变,60天的利润总和是多少?
【解析】当1≤n≤20时,a1=a2=a3=…=an-1=an=1,当21≤n≤60时,an=
.
,所以{an}的前20项是常数列,后40
项是以为首项,以为公差的等差数列,所以S60=20+40×+×=182(万元).
所以60天的利润总和是182万元.
解答数列实际应用问题的步骤
(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型.基本特征如表:
数列模型 等差数列 等比数列 简单递推 数列 基 本 特 征 均匀增加或者减少 指数增长或减少,常见的是增长率问题、存款复利问题 指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即数列{an}满足an+1=1.2an-a (2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.
(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.
相关推荐：
loading