第3讲 平面向量
→→
1．(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) 1→4→→
A.AD＝－AB＋AC
33→4→1→
C.AD＝AB＋AC
33
→1→4→
B.AD＝AB－AC
33→4→1→D.AD＝AB－AC
33
→→→→
2．(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，→
DN＝2NC，则AM·NM等于( )
A．20 B. 15 C．9 D．6
3．(2015·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
4．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D→→→→
满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________．
1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.
→→→
1
热点一 平面向量的线性运算
(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；
(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
π
例1 (1)(2014·陕西)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b2＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝______.
1
(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.
3→→→
若AB＝a，AC＝b，且CE＝xa＋yb，则x＋y＝________.
思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
→→
跟踪演练1 (1)(2015·黄冈中学期中)已知向量i与j不共线，且AB＝i＋mj，AD＝ni＋j，
m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是( )
A．m＋n＝1 C．mn＝1
B．m＋n＝－1 D．mn＝－1
→→→→→→→
(2)(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；
y＝________.
热点二 平面向量的数量积
2
(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ. (2)三个结论
①若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 →|AB|＝
2
2
x2－x1
2
＋y2－y1
2
.
③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
a·bx1x2＋y1y2
则cos θ＝＝2222.
|a||b|x1＋y1x2＋y2
→→
例2 (1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，→→→→
AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．
→→→
(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若OA·OB＝6，则|OG|的最小值是________． 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练2 (1)(2015·山东)过点P(1，3)作圆x＋y＝1的两条切线，切点分别为A，B，则
2
2
PA→
·PB→
＝
________________________________________________________________________. →1→→→→
(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角
2为________．
热点三 平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．
例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α π (1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值； 4π (2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值． 3 3 思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题． →→ 跟踪演练3 (2014·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知BA·BC1 ＝2，cos B＝，b＝3.求： 3(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 4 →1→ 1．如图，在△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM3→→→→ 交DE于N，设AB＝a，AC＝b，用a，b表示向量AN.则AN等于( ) 1 A.(a＋b) 21 C.(a＋b) 6 1 B.(a＋b) 31 D.(a＋b) 8 →→→→ 2．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( ) 5
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