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16.
空间向量与立体几何
共面向量
重要 概念
一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。
空间基底
空间任何三个不共面的向量
a,b,c都可做空间的一个基底。
，a
空 间 向 量
共线定理
a,b（b
0共线
存在唯一实数 b。
基本 定理
共面定理
p与a,b、（a,b不共线）共面
存在实数对
x,y，使p xa yb． xa yb zc。
基本定理
a,b,c不共面，空间任意向量 p存在唯一的(x,y,z)，使p
线面 标志
方向向量
所在直线与已知直线
l平行或者重合的非零向量 a叫做直线l的方向向量。
垂直的非零向量 n叫做平面
的法向量。
法向量
所在直线与已知平面
线线平行
方向向量共线。
线面平行
判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。
空 间 向 量
位置 关系
面面平行
判定定理；两个平面的法向量平行。
两直线的方向向量垂直。
线线垂直
线面垂直
判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。
与
立 立 体 体 几 几 何 何 中 的
判定定理；两个平面的法向量垂直。
面面垂直
两直线方向向量为
a,b，cos cosa,b
。
线线角
直线的方向向量为 a，平面的法向量为
n，sin cosa,n
。
空间 角
向 量 方 法
线面角
两平面的法向量分别为n 和n ，则coscosn1,n2。
1
2
二面角
直线的方向向量为 a，直线上任一点为 直线a的距离d
点线距
N，点M到
两平行线距离 为点线距。
MNsinMN,a。
转化
空间 距离
平面
的法向量为n，平面
内任一点为N，点M
到平面
点面距
的距离dMNcosMN,n
MNn n
。 线面距、面面距转化
为点面距。
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17. 直线与圆的方程
倾斜角
概念
斜率
x轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与 x轴平行或重合时倾斜角为 0
y1（x1x2），(x1,y1),(x2,y2)在直线上。 y2 tan 倾斜角为 ，斜率k
x2 x1
点斜式
直线
两点式
y y0 y y1
y2 y1 Ax
方程
k(x x0)
x1
(x1
x
x2 x1
0（A
2
在y轴截距为b时y kxb。
x
x2,y1
y2)
在x,y轴截距分别为a,b时
a
A
，纵截距
y 1。 b C。 B
一般式
By C
B
2
0），B 0时斜率k
B
l1//l2
直
线
平行
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时， 线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与 当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1 一条斜率不存在，则另一条斜率为
k1 k2；如果不重合直
与
方 位置 程 关系
垂直
l2． x轴垂直，则 l1// l2
k1k2
1；若两条直线l1,l2中的
0 时，它们垂直．
直 线 与 圆 的 方
程
交点
两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。
11122
2 两点之间的距离
点点距
PP
12
(x x)
2
1
2(y
2
y) 。
2
P(x,y),P(x
点线距
点
,y)
1
Ax0 By0
P(x0,y0)到直线l:AxByC
C
2
距离
公式
0的距离d
A
2
B
。
l1:AxByC1
线线距 定义 标准
0到l2:AxByC2
0距离d
C1 C2
．
A
2
B
2
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。
圆心坐标(a,b)，半径r，
2
方程
2
2
标准方程展开可得一般方程、 一般方程配方
可得标准方程。一般方程中圆心坐标为
圆
圆 与 方 程
方程
(xa)
(yb)
r 。
D
E
D E 2 4F
2
一般 方程
x
2
y
22
2
Dx
Ey
F 0)
0
( 2 , 2 )，半径
2
。
(其中DE4F
??
?? 代数法
相交
相切
相离
直线 与圆
方程组有两组解
方程组有一组解
方程组无解
几何法 代数法 几何法
d r
dr
d r
圆与 圆
方程组有两解
方程组有一组解
方程组无解
r1 r2 d r1r2
d r1r2或d
r1
r2dr1
r2或dr1r2
【注：标准d
根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】
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18. 圆锥曲线的定义、方程与性质
定义
标准方程
范围
几何性质
顶点
焦点
对称性
离心率
椭圆中
平面内与两个定点 椭 圆
的距离之和等于常数 （大于
F1，F2
x 2 y 2
x a
(a,0)
(c,0)
2a
a
2
2b
2
2
1
y b
(0, b)
FF
2
2c）的点
1 2
的轨迹叫做椭圆． 【b
2
2
y a
2
x
1
y a
a c，ab】
b
22
x b
(0, a)
( b,0)
(0,c)
a c 0e1
x轴
圆 锥 曲 线 的 定 义 、 方 程
c
e
a
x a
2y b 1
2
2
x a
y轴
坐标原点
双 曲 线
平面内与两个定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于 常数
y R
( a,0)(c,0)
F1F2
2a （ 小于 2c）的点的轨迹
双曲线
中
y a
2
2
叫做双曲线．
22 2【b c a】
x
1b2
2
y a x R
a c
(0, c)
(0, a)
e1
与 性 质
平面内到一个定点 F和一 条定直线l（定点F不在
定直线l）距离相等的点的
y
2
2
2px
x 0
y R
(,0) 2 p(
p
x轴
1
y
2
2px
x 0
y R
(0,0)
,0)
【离心
率是曲
抛
物
2
线
轨迹是抛物线。
x
2py y 0
【焦点到准线的距离等于
p，p0，焦参数】
x R
(0,
p 2
)
x
2
2py y 0
y轴
x R
(0,
b
x，y
p)
线上的
点到焦
点的距
离与到
准线的
距离之
比】
2
a
注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方程分别为
y
x
x。
2. 表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是
,x 2
pa
p,y 2
b p,y 2
p。 2
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