┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊
安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书
信号，输出中将含有高次谐波。然而一般伺服系统均有低通滤波特性，因此高次谐波的影响可忽略不计，此时可以利用非线性部件的基波特性来近似的代替它，这样可以近似用线性系统的频率法来分析非线性系统。
（3）谐波平衡法建立在描述函数法的基础上，它把非线性系统分成线性和非线性两部分，利用系统线性部分的频率特性与非线性部分的描述函数两者之间的关系来分析非线性系统的稳定性。
（4）Lyapunov方法是当前针对非线性系统的一种主要研究方法，从研究方法的性质上来说，这是一种真正的非线性处理方法，它是由俄国科学家A.M. Lyapunov于19世纪后期提出来的，这种方法包括直接法和间接法两种稳定性分析方法。间接法也称Lyapunov第一方法，这种方法首先要由系统的运动方程来找出其一次近似的线性化方程，再通过对线性化方程的稳定性分析给出原非线性系统在小范围内稳定性的有关信息，直接法也称Lyapunov第二方法，这种方法的特征是不需要引入线性近似，而是直接由原系统的运动方程构造一个类似于系统能量Lyapunov函数，并分析它一次导数随时间的变化趋势来分析系统的稳定性。间接法的本质上是一种近似的方法，直接法概念直观，物理意义清晰，但是对于非线性系统目前尚无统一的求Lyapunov函数的方法。
对于非线性系统研究的一个重要突破是在19世纪末。这一时期由于把微分几何和微分代数等数学方法相继引入到非线性系统控制的研究中，使得非线性系统的研究模式摆脱了局部线性化和小范围运动分析的局限性，从而可以实现对非线性动态系统控制的大范围分析和综合。在这一阶段的研究工作中，人们广泛采用微分几何理论和方法，形成了微分几何控制理论的新分支，为非线性系统几何理论的建立和发展奠定了基础。
综上所述，虽然国内外很多学者致力于非线性系统的研究，但是由于一般非线性 系统控制的复杂性和多样性，对非线性系统的理论研究造成了极大的困难，很难找到统一的普适的处理方法。因此从事控制工作的工程师和研究人员长期以来对非线性系统的研究往往只是针对某一类特定的非线性系统来展开。如变结构控制，反馈线性化方法等，能解决某一类非线性系统的分析与综合问题，但是不能通用于一般的非线性 系统。另外这些方法都要求有苛刻的条件，且结构复杂。所以说，一直到目前为止，
共 38 页 第 2 页
┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊
安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书
非线性系统控制这一控制领域的难点问题仍旧未能圆满解决，依然缺乏系统化的设计方法和有效的处理手段。
1.3 非线性系统的特征
线性系统的重要特征是可以应用叠加原理。由于描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，因此叠加原理不能应用，故能否应用叠加原理是两类系统的本质区别。非线性系统的运动主要有以下特点[2]：
（1）系统的稳定性分析
线性系统的稳定性与零输入响应的性质只由系统本身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。然而非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅取决于系统本身的结构和参量，而且与系统的初始状态有关。对于线性系统有稳定和不稳定之分，但对于非线性系统，不能笼统地称稳定的或不稳定的非线性系统，只能根据具体的问题来分析。
（2）可能存在自激振荡现象
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。线性定常系统只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生。但在控制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服间隙，死区等非线性因素的不良影响。而在振荡实验中，还必须使系统产生稳定的周期运动。因此研究自振的产生条件及抑制，确定自振的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。
（3）频率响应发生畸变
稳定的线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输出量是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位为输入正弦信号频率的函数。但对于非线性系统，若输入为正弦函数，其输出通常是包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数，周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。
（4）系统共振现象
在线性系统中，如外施信号的频率与系统本身所固有的无阻尼自振频率相同时，
共 38 页 第 3 页
┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊
安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书
系统将产生共振，在一定条件下，其振幅可能非常高，按线性关系，理论上振幅可达到无穷大。但在非线性系统中则不然，它不会发生如线性系统那样的共振现象。线性系统的无阻尼自振频率仅由系统的参量决定，是个固定的频率。而非线性系统周期解的频率多数情况下将随其振幅变化而改变，周期性的外作用信号固定频率与系统周期响应的不断变化的自振频率如果相等，也只能发生在短暂时刻，所以非线性系统不会发生线性系统那样的共振现象。
1.4相关数学基础
1.4.1相关数学概念和定义
正定函数：一个使值、连续可微的函数f在原点附近的区域D为正定函数的条件是 ? ?
f?0??0
f?x??0对于所有不为零的x?D
若上式中f?x??0则函数f为半正定函数；若f?x??0，则函数f为负定函数；若
f?x??0则函数f为半负定函数。
可控性：若对状态空间的任一非零状态x?t0?，都存在一个有限时刻t1?t0和一个容许控制u?t0,t1?，能在t1时刻使状态x?t0?转移到零，则称状态方程
??A?t?x?B?t?u (1-1) x在t0时刻是可控的。反之称为在t0时刻不可控。
Lipschitz函数：在?t0,x0?的某个邻域内，对于所有的?t,x?和?t,y?,f?t,x?满足不等式
f?t,x??f?t,y??Lx?y (1-2)
则我们称f是Lipschitz函数，当f:R?R时，Lipschitz条件可写成
f?y??f?x?y?x?L (1-3)
k类函数：如果连续函数?:?0,a???0,??严格递增，且??0??0，则?属于k类
共 38 页 第 4 页
┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊
安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书
函数。如果???，且当r??时??r???，则?属于k￥类函数。
kL类函数：对于连续函数?:?0,a???0,????0,??，如果对于每个固定的s，映
射??r,s?都是关于r的k类函数，并且对于每个固定的r映射??r,s?是s的递减函数，且当s??时??r,s???，则?属于kL类函数。
1.4.2相关数学定理
本节给出了在第二章和第三章用到的关于Lipschitz条件、类函数和类函数的定理。
定理1.1[3] 如果在某一定义域D?Rn内，f?x,t?和??f?x??t,x?在?a,b??D内是连续的，那么f在?a,b??D上对于x是局部Lipschitz的。
定理1.2[3] 如果f?t,x?和??f?x??t,x?在?a,b??Rn上连续，那么当且仅当??f?x?在
?a,b??Rn上一致有界时f在?a,b??Rn上对于x是全局Lipschitz的。
定理1.3[3] 设?1和?2是?0,a?上的k类函数，?3和?4是k￥类函数，?是kL类函数，
?1?i表示?i的反函数，则
κ类函数。 ? ?1?1在??0,a1????上有定义，且属于
? ?3?1在?0,??上有定义，且属于k￥类函数。 ? ?1??2属于k类函数。 ? ?3??4属于k￥类函数。
? ??r,s???1????2?r?,s??属于kL类函数。
?????y?，y?t0??y0 定理1.4[3] 考虑标量自治可微方程y其中?是定义在?o,a?上的局部Lipschitzk类函数。对于所有0?y0?a，当t?t0时方程有唯一解y?t?，且
y?t????y0,t?t0? (1-4)
其中，?是定义在?0,a???0,??上的kL类函数。
共 38 页 第 5 页
相关推荐：
loading