约瑟夫森结I-V特性及非线性Matlab模拟

江苏科技大学数理学院 约瑟夫森结I-V特性及非线性的数值模拟

?d??n?n? n=0，1，2，… （7） d?c. 约瑟夫森结的高度非线性特性

从上述无量纲化过程中，可以知道归一化电压u的表达式为：

u?d?2eC （8） ?Vd??Ic因此，画分岔图、相图和庞加莱截面时纵轴就是归一化电压u。下面给出了通过Matlab模拟计算得到的非线性混沌现象的分岔图、相图、庞加莱截面及功率谱，也给出了一些简要的分析方法。 i. 通向混沌的道路

图6：系统u随参数id的分岔图 图7：系统u随参数?c的分岔图

The bifurcation diagram of U with the parameterid The bifurcation diagram of U with the parameter ?c

图8：系统u随参数?c的分岔图 图9：系统u随参数ia的分岔图

The bifurcation diagram of U with the parameter?c The bifurcation diagram of U with the parameter

ia

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通向混沌的道路有很多种

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，如倍周期分岔、阵发性方式、茹厄勒——塔肯斯道路等。

它们是具有普适性的，很多动力学系统随着参数的改变会以倍周期分岔或阵发性的方式进入混沌状态，在混沌区中，由于阵发性的作用，又会出现一些具有周期性的窗口。如图6，图7，图8，图9所示，它们分别是约瑟夫森结电压u随参数id、?c、ia的分岔图。我们先简要分析图6和图7，然后在ii中用相图、时序图、庞加莱截面和功率谱着重分析图9。

图6是以id为控制参数(0.8

图7，图8（局部放大图）是以?c为控制参数(0

ia?1.50)时，得到的u随?c变化的分岔图。从图中很容易看出：随着参数?c的减小，周期运

动状态和混沌状态会不断交替出现，且混沌区中含有较狭窄的周期窗口，最后完全进入混沌状态；陆续出现周期1，周期3，周期5，周期7，…的周期状态区 ，且周期状态区域逐渐变窄，直到消失；在选择的参数范围内，系统随?c的减小以阵发性方式进入混沌状态；随着参数?c的减小，系统由周期状态进入到混沌状态的过程是级联过程。 ii. 混沌现象的分析

图9是约瑟夫森结电压u随参数ia的分岔图（0?ia?2）。由图中可以看出，它与前面两种情况不同，该条件下系统是通过倍周期分岔到混沌状态，再由阵法性方式到达周期状态的。由于单用一种方法对混沌进行研究时，在一些情况下并不能达到很好的效果。比如相轨道很密时不易分出是几个周期；画庞加莱截面时两点靠得太近而误以为是单周期，等等。因

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此，我们用四种方法相互比较对混沌进行研究，分别是相图、庞加莱截面、功率谱和时序图。 周期状态区、混沌状态区和周期窗口在分岔图中显而易见，在此就不列举了。我们截取有代表性的几个值进行研究，得到如下图像。

图10：系统相图（Bc=0.5,w=0.66,ia=0.8）

Phase Diagram of The System（Bc=0.5,w=0.66,ia=0.8）

图11：系统相图（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.0636）

Phase Diagram of The System（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.0636）

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图12：系统相图（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.0652）

Phase Diagram of The System（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.0652）

图13：系统相图（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.08）

Phase Diagram of The System（Bc=0.5,w=0.66,ia=1.08）

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