据∠A的度数求出∠PEA的度数为30度，利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AE与PE，由AD﹣AE表示出DE，再利用对顶角相等得到∠DEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出DF，由两直线平行内错角相等得到∠F为直角，表示出三角形CPE的面积，得出y与x的函数解析式，利用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长； （2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BC=CE，∠B=∠PEC=120°，进而得出∠ECD=∠CED，利用等角对等边得到ED=CD，即三角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用锐角三角形函数定义表示出cos30°，得出CM与CD的关系，进而得出CE与CD的关系，即可确定出AB与BC满足的关系． 解答： 解：（1）延长PE交CD的延长线于F， 设AP=x，△CPE的面积为y， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=DC=6，AD=BC=8， ∵Rt△APE，∠A=60°， ∴∠PEA=30°， ∴AE=2x，PE=x， 在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x， ∴DF=DE=4﹣x， ∵AB∥CD，PF⊥AB， ∴PF⊥CD， ∴S△CPE=PE?CF， 即y=×x×（10﹣x）=﹣x2+5x， 配方得：y=﹣（x﹣5）2+， 当x=5时，y有最大值， 即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是； （2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°， ∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°， ∵∠ADC=120°， ∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°， ∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形， 过D作DM⊥CE于M，则CM=CE， 在Rt△CMD中，∠ECD=30°， ∴cos30°==， 25
∴CM=CD， ∴CE=CD， ∵BC=CE，AB=CD， ∴BC=AB， 则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB． 点评： 此题考查了四边形的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，平行线的判定与性质，以及二次函数的性质，是一道多知识点综合的探究题． 38、（2013?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE． （1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析： （1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB； （2）当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出AC=或AB=2AC． 解答： （1）证明：连结CE． ∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点， ∴CE=AB=AE． ∵△ACD是等边三角形， ∴AD=CD． 26
在△ADE与△CDE中，， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE=∠CDE=30°． ∵∠DCB=150°， ∴∠EDC+∠DCB=180°． ∴DE∥CB． （2）解：∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°． ∴∠B=30°． 在Rt△ACB中，sinB=∴当AC=，sin30°=，AC=或AB=2AC． 或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形． 点评： 此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质． 39、（2013?巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质． 分析： （1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC； （2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度． 解答： （1）证明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC． ∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C． 在△ADF与△DEC中，
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∴△ADF∽△DEC． （2）解：∵?ABCD，∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF∽△DEC， ∴，∴DE===12． ==6． 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错． 40、（2013?新疆）如图，?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定． 分析： （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可； （2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，AB∥CD． ∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF． ∴△AOE≌△COF（ASA）； （2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形， 理由如下： 由（1）可知△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∵AO=CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF=AC， ∴四边形AECF是矩形． 28
点评： 本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题
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