∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边行ABCD是平行四边形.
故答案为:答案不,如两组对角分别相等的四边形是平行四边形等.
15.若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是矩形,则原四边形必须满足的条件是 对角线互相垂直 .
【考点】中点四边形;矩形的判定.
【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理求解;首先根据三角形中位线定理知:所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,若所得四边形是矩形,那么邻边互相垂直,故原四边形的对角线必互相垂直.
【解答】解:由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点, 根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG, ∴四边形EFGH是平行四边形,
∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG, ∴AC⊥BD,
故答案为:对角线互相垂直.
16.已知在平面直角坐标系中,点A、B、C、D的坐标依次为(﹣1,0),(m,n),(﹣1,10),(﹣7,p),且p≤n.若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形,则n的值是 2,5,18 .
【考点】菱形的判定;坐标与图形性质.
【分析】利用菱形的性质结合A,C点坐标进而得出符合题意的n的值. 【解答】解:如图所示:当C(﹣7,2),C′(﹣7,5)时,都可以得到以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形,
同理可得:当D(﹣7,8)则对应点C的坐标为;(﹣7,18)可以得到以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形, 故n的值为:2,5,18. 故答案为:2,5,18.
三、解答题(本大题共10小题,共68分) 17.计算: (1) • (2) ﹣ ﹣3.
【考点】分式的混合运算. 【分析】(1)先约分,再计算即可;
(2)化为同分母的分式,再进行相加即可. 【解答】解:(1)原式=﹣ ; (2)原式= ﹣ ﹣ = =
=﹣2.
18.先化简,再求值: ÷( ﹣1),然后从2,1,﹣1,﹣2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先算括号里面的,再算除法,最后选出合适的a的值代入进行计算即可. 【解答】解:原式= ÷ = • =﹣ ,
当a=﹣2时,原式=﹣ =1.
19.矩形定义,有一个角是直角的平行四边形是矩形. 已知:如图,▱ABCD中,且AC=DB. 求证:▱ABCD是矩形.
【考点】矩形的判定;平行四边形的性质.
【分析】首先利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠ABC=∠DCB=90°,再利用矩形的判定方法得出答案.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=DC,AB∥DC, 在△ABC和△DCB中 ,
∴△ABC≌△DCB(SSS), ∴∠ABC=∠DCB, ∵AB∥DC,
∴∠ABC=∠DCB=90°, ∴▱ABCD是矩形.
20.如图,线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1(点A的对应点为A1). (1)请用直尺和圆规作出旋转中心O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接OA、OA1、OB、OB1,并根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论.
【考点】作图-旋转变换. 【分析】(1)连接AA1、BB1,再分别作AA1、BB1中垂线,两中垂线交点即为点O;
(2)根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应点到旋转中心距离相等,据此可知. 【解答】解:(1)如图,点O即为所求;
(2)OA=OA1、∠AOA1=∠BOB1.
21.在▱ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.
(1)求证:四边形EHFG是平行四边形;
(2)若四边形EHFG是矩形,则▱ABCD应满足什么条件?(不需要证明)
【考点】平行四边形的判定与性质;矩形的判定. 【分析】(1)通过证明两组对边分别平行,可得四边形EHFG是平行四边形;
(2)当平行四边形ABCD是矩形,并且AB=2AD时,先证明四边形ADFE是正方形,得出有一个内角等于90°,从而证明菱形EHFG为一个矩形. 【解答】解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE∥CF,AB=CD,
∵E是AB中点,F是CD中点, ∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形, ∴AF∥CE.
同理可得DE∥BF,
∴四边形FGEH是平行四边形;
(2)当平行四边形ABCD是矩形,并且AB=2AD时,平行四边形EHFG是矩形. ∵E,F分别为AB,CD的中点,且AB=CD, ∴AE=DF,且AE∥DF,
∴四边形AEFD为平行四边形, ∴AD=EF,
又∵AB=2AD,E为AB中点,则AB=2AE, 于是有AE=AD= AB,
这时,EF=AE=AD=DF= AB,∠EAD=∠FDA=90°, ∴四边形ADFE是正方形,
∴EG=FG= AF,AF⊥DE,∠EGF=90°, ∴此时,平行四边形EHFG是矩形.
22.某校有1000名学生.为了解全校学生的上学方式,该校数学兴趣小组在全校随机抽取了100名学生 进行抽样调查.整理样本数据,得到下列图表(频数分布表中部分划记被污染渍盖住):
(1)本次调查的个体是 每名学生的上学方式 ;
(2)求扇形统计图中,乘私家车部分对应的圆心角的度数;
(3)请估计该校1000名学生中,选择骑车和步行上学的一共有多少人? 【考点】频数(率)分布表;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)每一个调查对象称为个体,据此求解;
(2)首先求得私家车部分所占的百分比,然后乘以周角即可求得圆心角的度数; (3)用学生总数乘以骑车和步行上学所占的百分比的和即可求得人数. 【解答】解:(1)本次调查的个体是每名学生的上学方式; (2)(1﹣15%﹣29%﹣30%﹣6%)×360°=72°; 答:乘私家车部分对应的圆心角的度数为72°; (3)1000×(15%+29%)=440人.
答:估计该校1000名学生中,选择骑车和步行上学的一共有440人.
23.已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.
求证:(1)∠1=∠2.
(2)四边形AFCE是菱形.
【考点】菱形的判定;线段垂直平分线的性质. 【分析】(1)由平行线的性质:内错角相等即可证明;
(2)由于知道了EF垂直平分AC,因此只要证出四边形AFCE是平行四边形即可得出AFCE是菱形的结论. 【解答】证明:(1)∵AD∥BC, ∴∠1=∠2;
(2)∵EF是对角线AC的垂直平分线, ∴AO=CO,AC⊥EF, ∵AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO, 在△AEO和△CFO中, ,
∴△AEO≌△CFO(AAS), ∴AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形, 又∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形.
24.如图①,已知△ABC是等腰三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点,作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,连接AE、BG. (1)试猜想线段BG和AE的关系为;
(2)如图②,将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转α(0°<α≤90°),判断(1)中的结论是否仍然成立,证明你的结论.
【考点】四边形综合题. 【分析】(1)由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论; (2)如图2,连接AD,由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论. 【解答】解:(1)BG=AE.
理由:∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点, ∴AD⊥BC,BD=CD, ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵四边形DEFG是正方形, ∴DE=DG.
在△BDG和△ADE中, ,
∴△ADE≌△BDG(SAS), ∴BG=AE;
(2)成立BG=AE.
理由:如图②,连接AD,
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