七年级数学培优班讲义(教师版)

第九讲：与三角形有关的角

一、相关定理

（一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180° （二）三角形的外角性质定理：

1． 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和 2． 三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 （三）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n?2)?180? 多边形外角和定理：多边形的外角和为360° 二、典型例题

问题1：如何证明三角形的内角和为180°？

AE1A2FNEB2134OMFC

BC

1．如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度数. 分析：∠CDE=∠ADC-∠2 ∠1=∠B+40°-∠2

∠1=∠B+40°-（∠1+∠C） 2∠1=40° ∠1=20°

2．如图：在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC 求证：∠EAD＝

AE

BDCA1（∠C－∠B） 2BEDEA

3．已知：CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA于E 求证：∠BAC>∠B

分析：

CBCD

问题2：如何证明n边形的内角和为(n?2)?180?

AEBAEBMBAEMDCDCMD

C

4．多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。

5．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程

为（ ）

A. 6米 B. 8米 C. 12米 D. 不能确定

第十讲：二元一次方程组

一、相关知识点

1、 二元一次方程的定义：

经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。

2、二元一次方程的标准式： ax?by?c?0?a?0,b?0? 3、 一元一次方程的解的概念：

使二元一次方程左右两边的值相等的一对x和y的值，叫做这个方程的一个解。

4、 二元一次方程组的定义：

方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。 5、 二元一次方程组的解：

使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

二、典型例题

1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ）

，?x?y?1，x?1， ?x?y?1Ａ．?Ｂ． Ｃ．Ｄ．?y?x， ?????xy?0．?x?y?0．?y?2?3．?x?2y?1．x?3，x?2y?5?0，2．有这样一道题目：判断?是否是方程组?的解？ ???y?1?2x?3y?5?0x?3，x?2y?5?0，小明的解答过程是：将x?3，y?1代入方程x?2y?5?0，等式成立．所以?是方程组?的???y?1?2x?3y?5?0解．

小颖的解答过程是：将x?3，y?1分别代入方程x?2y?5?0和2x?3y?5?0中，得x?2y?5?0，

?x?3，?x?2y?5?0，不是方程组?的解． 2x?3y?5?0．所以?y?12x?3y?5?0??你认为上面的解答过程哪个对？为什么？

3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（ B ） A、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=3 分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x、y，再代入y=kx-9求出k值。 解??3x?y?7?①?x?2 得：?

?y??1?2x?3y?1?② 将??x?2代入y=kx-9，k=4

?y??1??6m?3n?1?04．解方程组???3m?2n?10?0方法一：（代入消元法） 解：由（2），得 n??1? ?2?，得 m??3? 把（3）代入（1）

10?3m24 34?4?m?把m?代入（3），得 n?3 ∴ ?3

3??n?3方法二：（加减消元法）

解：（2）×2： 6m+4n-20=0 (3) (3)-(1): 7n=21 n=3

4?m?4?把n?3代入（3），得m? ∴ ?3

3??n?3方法三：（整体代入法）

解：由（1）得：2?3m?2n??7n?1?0?3?

由（2）得：3m?2n?10?4? 把（4）代入（3）

，得 n?3 4把n?3代入（4），得m?4??m?3 ∴ ??3

?n?3方法三：（整体代入法）

解：由（1）得：2?3m?2n?10??7n?21?0?3?

由（2）代入（3），得n?3

?4把n?3代入（2），得m?4?m?3 ∴ ?3

??n?35．已知方程组??2a?3b?13的解是??3a?5b?30.9?a?8.3，则方程组??b?1.2?2?x?2??3?y?1??13?3?x?2??5?y?1??30.9的解是（A．??x?8.3 B．?x?10.3?x?6?y?1.2?y?2.2 C．?.3?2.2 D．?x?10.3?y?

??y?0.2

??456．??x?y?13?45

??x?y?3解：设a?1?4a?5b?13?1?x,b?1y，则原方程组可化为????4a?5b?3?2? 解得：??a?2?b?1

?∴??x?12 ??y?17．解方程组???x:y?3:2?1???3x?5y?3?2? 解：（参数法）∵

xy?32 ∴设x?3k,y?2k。 把x?3k,y?2k代入（2），得：k??3

∴??x??9y??6

?8．解三元一次方程组

C ）