∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b?α. ∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α. 而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d?α, 即a、b、c、d在同一平面内.
点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：
(1) 直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线. (2)
思路2
例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.
图15
活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
解：如图16所示，连接CB， ∵C∈β,B∈β,∴直线CB?β.
图16
∵直线CB?平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB. 设直线CB与直线EF交于D, ∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC. ∵A∈α,A∈平面ABC， ∴α∩平面ABC=直线AD. 变式训练
1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系.
图17
解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC， 它与平面α的交线为直线BC，DE?平面ABC， ∴DE与α的交点P在直线BC上.
2.如图18，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为8 cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，
图18
(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线. (2)设过M、N、P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长.
解：(1)设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1=R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1=Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.如图18.
1(2)正方体棱长为8 cm，B1R=BM=4 cm，又A1N=4 cm，B1Q=A1N,
3144∴B1Q=×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4 cm，B1Q=cm，
333410cm. ∴PQ=B1P2?B1Q2?3点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线.
例2 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.
解：如图19,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,
图19
∴过A、B、C有一个平面β. 又∵AB∩α=P，且AB?β,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l, 同理可证：Q∈l,R∈l, ∴P、Q、R三点共线. 变式训练
三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.
求证：l1、l2、l3相交于一点.
证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，
图20
∵l1?β，l2?β，且l1、l2不平行, ∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P， 则P∈l1?α,P∈l2?γ, ∴P∈α∩γ=l3.
∴l1、l2、l3相交于一点P.
点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.
（四）知能训练
画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由. 解：如图21,
图21
∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′. ∵E∈AC，∴E∈平面ACD′. ∵E∈BD，∴E∈平面BDC′. ∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B. ∴EF为所求.
（五）拓展提升
O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上. 解：如图22,连接A1C1、AC，
图22
因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1， 易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1， 所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1. 又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1， 故P在两平面的交线上，即P∈AO1.
点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.
（六）课堂小结
1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性. 2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.
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