本章小结
知识整合
1.知识纲要
命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与特称量词. 2.方法总结
(1)理解四种命题及其相互关系,特别是互为逆否命题的两个命题同真假.
(2)掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义,并会判断两个命题的关系.对于A、B两个命题若A ?B,A是B的充分条件;若B ?A,A是B的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;并会用充要条件的知识解决一些与其他知识相关的问题.
(3)正确地使用逻辑联结词“或”“且”“非”，并会判断复合命题的真假(即掌握真值表).另外理解清楚“或”“且”“非”与集合的“交”“并”“补”的对应关系.
(4)会判断全称命题与特称命题,并且会写命题的否定;理清命题的否定与否命题的区别;全称命题的否定为特称命题;特称命题的否定为全称命题. 使用逻辑联结词的情况是( ) A.没有使用逻辑联结词 B.使用了联结词“且” C.使用了联结词“或” D.使用了联结词“非”
解析:“x2-4=0的解是x=±2”就是指“x2-4=0的解是x=2或x=-2”,因此该命题是用逻辑联结词“或”联结的. 答案:C
点评:要理解联结词“或”“且”“非”的含义.“或”相当于集合中的“并集”与日常用语中的“或”含义不同.日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”可以两个都选，但又不是两个都必须选，而是两个中至少有一个，相当于“并集”定义中的“或”.“且”相当于集合中的“交集”，即必须两个都选.“非”相当于集合在全集中的补集. 【例3】 写出下列命题的“?p”命题，并判断它们的真假. (1)p:对任意实数x，都有x2-2x+1≥0; (2)p:存在实数x,使得x2-9=0. 解：（1）?p:?x0∈R,使得x2-2x+1＜0.由于x2-2x+1=(x-1)2,且任意实数的平方非负，知“?p”为假命题.
(2)?p:不存在实数x，使得x2-9=0.因当x=3时，x2-9=0成立，即p真，故“?p”为假命题.亦可写为“所有的实数x，使得x2-9≠0”.
点评：根据“?p”形式命题与p的真假相反来判断，问题比较简单时也可以直接判断. 【例4】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件. 解:(1)a=0时适合.
(2)当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a<0;若方程有两个负的实根,则必须满足
?1?a?0,??2解得0 综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1;反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根,因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1. 点评:(1)a=0的情况不要忽视;(2)若令f(x)=ax2+2x+1,由于f(0)=1≠0,从而排除了方程有一个负根,另一个根为零的情形. 【例5】已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求: (1)方程有两个正根的充要条件; (2)方程至少有一个正根的充要条件. 典例启示 【例1】写出下面命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假. 如果两圆外切,那么圆心距等于两圆半径之和. 解:逆命题:如果圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切;真命题. 否命题:如果两圆不外切,那么圆心距不等于两圆半径之和;真命题. 逆否命题:如果圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不相外切;真命题. 点评:写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题,关键是熟悉命题的结构;原命题与逆否命题同真假,原命题的逆命题与否命题同真假.所以只要判断出原命题及它的逆命题的真假,便可得到原命题的否命题及它的逆否命题的真假. 【例2】 命题“方程x2-4=0的解是x=±2.”在这个命题中, 解析:先求出方程有两个实根的充要条件,再讨论x2的系数及运用根与系数的关系分别求出要求的充要条件. 解:(1)方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个实根的充要 条件是??1?a?0, ???0,?a?1,即? 2??a?2??16?1?a??0,?a?1,?? a?2或a?10,?即a≥10或a≤2且a≠1. 设此时方程的两实根为x1、x2,有两个正根的充要 ?a?1,??a?2或a?10,条件是? x?x?0,2?1??x1?x2?0.?a?1,?a?2或a?10,????a?2?0, ?a?1?4?0,??a?1即1＜a≤2或a≥10是方程有两个正根的充要条件. (2)由(1)知当1＜a≤2或a≥10时方程有两个正根,当a=1时,方程化为3x-4=0,有一正根x?4,3又方程有一正根一负根的充要条件是a＜1,故方程至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10. 点评:处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论,要紧扣定义. 【例6】写出下列各命题的否定： （1）x=±3; (2)圆既是轴对称图形也是中心对称图形； （3）a,b,c都相等； （4）点p或点N在直线PQ上； （5）对任意实数x，有x2-2x+1≥0; (6)存在一个实数x，使x2-4=0. 解：（1）x≠3,且x≠-3; (2)圆不是轴对称图形或不是中心对称图形； （3）a、b、c不都相等，即a≠b或b≠c或c≠a,即a、b、c中至少有两个不相等； （4）点p、N都不在直线PQ上； （5）存在一个实数x,使x2-2x+1＜0; (6)对任意实数x,都有x2-4≠0. 点评：（1）注意正确书写一些常用词语的否定. (2)命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.
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