阶段质量检测（一） 导数及其应用
(时间： 120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)等于( ) A．sin x C．cos α＋sin x
B．cos x D．2sin α＋cos x
解析：选A 函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．
2．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
π3π
0，?∪?，π? A.??4??4?π3π?C.??4，4?
B．[0，π) ππ3π
0，?∪?，? D.??4??24?
解析：选A y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的π3π
0，?∪?，π?. 范围是??4??4?
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：选A 设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．
4．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是( ) A. 0， B.
??2? 2??2，＋∞? ?2???
2??2?，0， 2??2?C. －∞，－D.－
?
?22??? ， 0，0， 22???
2
12x－12
解析：选A ∵f′(x)＝2x－x＝x，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递
2
减区间为0，
??2?. 2?
5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( ) A．1 C．0
1B. 2D．－1
解析：选A f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0， 11
则x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，
221?31
f??2?＝2－2＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝( ) A．2 C．4
B．3 D．5
解析：选D f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.
117．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是( )
3236－，? A.??107?83－，－? B.?16??581－，－? C.?16??3
36
－∞，－?∪?，＋∞? D.?10??7??
解析：选D f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，
107
a＋1??－a＋1?<0，解得a<要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即??3??6?36
－或a>. 107
故选D.
8.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )
解析：选D 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0 时，f′(x)>0，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D. 1 9．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x) 2的x的集合为( ) A．{x|－1 B．{x|x<1} D．{x|x>1} 1 解析：选B 令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>， 2∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数， ∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时， g(x)<0，即2f(x) 10．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( ) A．6千台 C．8千台 B．7千台 D．9千台 解析：选A 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x＝6时y取得最大值． 11．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a＜b，则一定有( ) A．af(a)＜bf(b) C．af(a)＞bf(b) B．af(b)＜bf(a) D．af(b)＞bf(a) 解析：选C [x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0， ∴函数x·f(x)是R上的减函数， ∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)． 12．若函数f(x)＝( ) A．a>b C．a＝b B．a D．a，b的大小不能确定 sin xsin x1sin x2，且0 xcos x－sin x 解析：选A f′(x)＝，令g(x)＝xcos x－sin x，则g′(x)＝－xsin x＋cos x x2－cos x＝－xsin x. ∵0 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 1 13．若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________. 32 解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝. 32 答案： 3 14．设a＞0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝__________. 232324 解析：S＝??0xdx＝3x2a0＝a＝a，∴a＝. 3294答案： 9 ππ －，?时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈??22?b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________． 解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)， 因为f′(x)＝1＋cos x≥0， ππ －，?上是增函数， 故f(x)在??22?π ∵>π－2>1>π－3>0， 2 ∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c 4－4x2 解析：f′(x)＝2，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1， ?x＋1?2即函数f(x)的增区间为(－1,1)． 又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增， m≥－1，?? 所以?m＜2m＋1， ??2m＋1≤1.答案：(－1,0] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． 4x 在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是x＋1 2a 解得－1＜m≤0. (1)求a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0， 解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x. 因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)， 所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2， 于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2. 当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时， g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点． 当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0， 故1不是g(x)的极值点． 所以g(x)的极值点为－2. 18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f(x)＝xeax＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处 － 的切线方程为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)因为f(x)＝xeax＋bx， － 所以f′(x)＝(1－x)eax＋b. － a2 ???f?2?＝2e＋2，?2e＋2b＝2e＋2， 依题设有?即?a－2 ?f′?2?＝e－1，???－e＋b＝e－1. － ??a＝2， 解得? ?b＝e.? － (2)由(1)知f(x)＝xe2x＋ex. － 由f′(x)＝e2x(1－x＋ex1)及e2x>0知， － － f′(x)与1－x＋ex －1 同号． － 令g(x)＝1－x＋ex1，则g′(x)＝－1＋ex1. － 所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0， g(x)在区间(－∞，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0， g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
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