《概率论和数理统计》(韩旭里)课后习题答案解析

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?P?X? ?故 fY(y)???2?y?1?y?1?P??X????2?2?y?1? ??2??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx

d1FY(y)?dy4?2??y?1?y?1??f?f??X?? ??X?????y?1?2?2?????? ?1221?(y?1)/4e,y?1

y?12π(3) P(Y?0)?1

当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y) ?故fY(y)??y?yfX(x)dx

dFY(y)?fX(y)?fX(?y) dy2?y2/2?e,y?0

2π31.设随机变量X~U（0,1），试求：

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（1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） P(0?X?1)?1

故 P(1?Y?eX?e)?1 当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0

当1

??lny0dx?lny

当y≥e时FY(y)?P(eX?y)?1 即分布函数

故Y的密度函数为

（2） 由P（0

专业整理 知识分享 ?0,y?1F)??Y(y?lny,1?y?e

??1,y?e?1fy)???y,1?y?eY( ??0,其他P(Z?0)?1

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当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0

当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z)

?P(lnX??z)?P(X?e?z/22)

??1e?z/2dx?1?e?z/2

即分布函数

故Z的密度函数为

32.设随机变量X的密度函数为

试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1

当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

专业整理 知识分享 F??0,z?0Z(z)? ?1-e-z/2,z?0?f?1e?z/2,z?0Z(z)??2

??0,z?0?f(x)=?2x?π2,0?x?π,

??0,其他.

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当0

?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π)

π2x2xdx? ???π?arcsinyπ2dx 0π21122?2（arcsiny）?1-2（π-arcsiny） ππ2 ?arcsiny

πarcsiny当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为

1?2,0?y?1?π2fY(y)?? 1?y?0,其他?33.设随机变量X的分布函数如下：

?1,?F(x)??1?x2??(2),试填上(1),(2),(3)项. 【解】由limF(x)?1知②填1。

x??x?(1)x?,

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