备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部
分详解）分类汇编4：平面向量
一、选择题
1 ．（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）已知|a|?6，|b|?3，a?b??12，则向量a在向量b方向上的投影是 A．－4
B．4
C．－2
D．2
（ ）
????a?b?122??【答案】A【解析】cos?a,b?????,向量a在向量b方向上的投影为6?33ab???2acos?a,b??6?(?)??4，选A．
3????????2 ．（甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学（理）试题）如图所示，两个不共线向量OA,OB的夹角为?，M,N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且
????????????22OC?xOA?yOB(x,y?R)，则x?y的最小值为
BMOA.24CNA
18 B. C.22 D.12
【答案】B【解析】因为M,N分别为OA与OB的中点，所以?????????????????????OC?xOA?yOB?2xOM?2yON，因为点C在直线MN上，所以
182x?2y?1,x?0,y?0,即x?y?12所以x?y?,x?0,y?0，
22?x?y?22?，当且仅当x=y
时取等号，因此选B。
3 ．（甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）已知点G是?ABC0,若?A?120,AB?AC??2,则AG的重心,AG??AB??AC（?、??R）的最小值是
A．
33（ ）
B．B．
22 C．
23 D．
34
【答案】
?????4 ．（【解析】贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）若a?2，b?4且（a?b)?a，
??则a与b的夹角是
（ ）
B．
?A．
2?3333????2?????2???【答案】A【解析】因为b??a??4，所以（a?b)?a?a?a?b?0，即a?（a?b)?a，所以
C．
4? D．?2?
??????a?b?412?，选A． cos?a,b???????，所以?a,b??32?42ab5 ．（云南省部分名校2013届高三第一次统一考试理科数学（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中））．已知
?????????????点O为?ABC内一点，且OA?2OB?3OC?0,则?AOB,?AOC,?BOC的面积之比等于
A．9：4：1
（ ）
B．1：4：9
C．3：2：1
D．1：2：3
【答案】C【解析】
延长OB到B'，使OB'?2OB,延长OC到C'，使OC'?3OC，连结B'C',取B'C'的中点A'，
????????????????则2OB?3OC?2OA'??OA,所以A,O,A'三点共线且O为三角形AB'C'的重心，则S?AOB'?S?AOC'=S?B'OC'，在△AOB?中，B为OB?边中点，所以S?AOB?12S?AOB',在△AOC?中，
C为OC?边近O端三等分点，所以S?AOC?所以S?BO'C13S?AOC'。在△B'OC'中，连BC'，B为OB?边中点，
?12S?'BO'C，在△BOC'中，C为OC?边近O端三等分点，所以
S?BOC?13S?BOC'?16S?B'OC'，因为S?AOB'?S?AOC'=S?B'OC'，所以△AOB： △AOC： △BOC
面积之比为：：=3:2:1，选
236111C．
6 ．（云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试数学理）已知点
???????M(5,?6)和向量a?(1,?2),若MN??3a，则点N的坐标为
（ ）
A．（2，0） B．（-3，6） C．（6，2） D．（—2，0）
N(x,y)【答案】A【解析】
??????MN??3a??3(1,?2)?(?3,6)，设
,则
??????x?5??3?x?2，即?，选A． MN?(x?5,y?(?6))?(?3,6)，所以?y?6?6y=0??7 ．（【解析】甘肃省天水市一中2013届高三上学期第三次考试数学理试题）已 知 （ ）
A．、 B．、 C．是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， O 是 三 角
?????1????????11???形 ABC 的 重 心 ， 动 点 P 满 足OP?(OA?OB?2OC)，则点 P 一定为三角形的
322 （ ）
A．AB 边中线的中点 C．重心
B．AB 边中线的三等分点（非重心） D．AB边的中点 D．AB边的中点
????1????【答案】B【解析】设AB中点为D，因为O 是 三 角 形 ABC 的 重 心 ，所以OD??OC，
2????11????1????????????????1????11????1????所以OP?(OA?OB?2OC)?(OD?2OC)?(?OC?2OC)?OC所以点P为OC的中点，
3223322即AB 边中线的三等分点（非重心），选 B．
8．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）如图，在等腰直角?ABO中，设
??????????OA?a,OB?b,OA?OB?1,C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为
????????垂线上任一点， OP?p,则p?(b?a)?
O P A
A．?12C
B
B．
12（ ）
C．?32 D．
32
?????????????????????????????????1???【答案】A【解析】由题意知AC?AB，OP?OA?AC?CP，所以p?(b?a)?OP?AB，
4
即
????????????????????????????????????????(OA?AC?CP)?AB?OA?AB?AC?AB?CP?AB?????????????????????????????????21????OA?AB?AC?AB?OA?ABcos?OA,AB??AB4?2?cos135??14?(2)?2????12?(?)???1???，所以p?(b?a)??选A．
2222221119．（甘肃省2013届高三第一次诊断考试数学（理）试题）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对
任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是 （ ）
A．若a与b共线，则a⊙b =0 B．a⊙b =b⊙a C．对任意的??R，有（?a）⊙b =?（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2
【答案】B【解析】由定义知：a⊙b= mq－np：所以选项A正确；又b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq－np，
所以选项B错误；（?a）⊙b=?mq??np，?(a⊙b)= ?( mq－np)= ?mq??np所以对任意的
??R，有（?a）⊙b =?（a⊙b），选项C正确；
（a⊙b）2+（a·b）2=( mq－np)2+( mp+nq)2= |a|2|b|2=?m?n22mq?np?mp?nq2
2
2
22222222，
??p2?q2??m2q?np?mp?nq，所以（a⊙b）+（a·b）= |a||b|，因
22222222
此D正确。
二、填空题
????????10．（云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解））已知向量AB与AC的夹角为
????????????30°,且|AB|?6,则|AB?AC|的最小值是___________.
【答案】如图3所示,点C的轨迹为射线AC?(不含端点A),
当BC?AC时,|????????????AB?AC|min?|CB|min?3.
图3
11．（甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试 数学（理）试题）已知平面向量a ，b满足：a?1,b?6,a?(b?a)?2，则a与b的夹角为
【答案】60
?
12．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）我们把平面内与直线垂直的非
零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点
?A(?3,4)，且法向量为n?(1,?2)的直线（点法式）方程为1?(x?3)?(?2)?(y?4)?0，化
简得x?2y?11?0．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为
?n?(?1,?2,1)的平面（点法式）方程为 ．
【答案】x?2y?z?2?0【解析】设B(x,y,z)为平面内的任一点，(?1)?(x?1)?(?2)?(y?2)?1?(z?3)?0，即x?2y?z?2?0．
由?????AB?n?0得
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