如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
【考点】KY：三角形综合题．
【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．
【解答】解：（1）连接BE，CD相较于H， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=90°， ∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点， ∴MG
CD，
BE，
同理：NG
∴MG=NG，MG⊥NG，
故答案为：MG=NG，MG⊥NG；
（2）连接CD，BE，相较于H，
同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接EB，DC，延长线相交于H， 同（1）的方法得，MG=NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．
24．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，点B（3，﹣
），O为坐标原点．
），
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围； （3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）将已知点坐标代入即可； （2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣
）求出相关角度．
），点B（3，﹣
）分别代入y=ax2+bx得
【解答】解：（1）把点A（1，
解得
∴y=﹣
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x= 当x＞时，y随x的增大而减小 ∴当t＞4时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x轴于点F
分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E
∵AC≥AD，BC≥BE ∴AD+BE≥AC+BE=AB
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大． ∵A（1，
），点B（3，﹣
）
∴∠AOF=60°，∠BOF=30° ∴∠AOB=90° ∴∠ABO=30°
当OC⊥AB时，∠BOC=60° 点C坐标为（，
）．
【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．
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