条件不能求解两中子星自转的角速度,D错误。 答案 BC
【典例2】 (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图15)：一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M,并设两种系统的运动周期相同,则( )
图15
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运动周期T＝4πR
R
5GM 312C.三角形三星系统中星体间的距离L＝
5R 1
D.三角形三星系统的线速度大小为2
5GMR 解析 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同,方向相反,选项A错误；三M2M24π2
星系统中,对直线三星系统有GR2＋G＝MT2R,解得T＝4πR（2R）2R
5GM,选项
M2
B正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律得2GL2cos 30°＝3124π2LMT2·,联立解得L＝三角形三星系统的线速度大小为
2cos 30°5R,选项C正确；?L?
?2π?2cos 30°
??2πr33125GM
v＝T＝,代入解得v＝··T65R,选项D错误。 答案 BC
课时作业 (时间：35分钟)
基础巩固练
1.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图1所示,某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2,则两颗天体的( )
图1
A.质量之比mA∶mB＝2∶1 B.角速度之比ωA∶ωB＝1∶2 C.线速度大小之比vA∶vB＝2∶1 D.向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
解析 双星绕连线上的一点做匀速圆周运动,其角速度相同,周期相同,两者之间的万有引力提供向心力,F＝mAω2rA＝mBω2rB,所以mA∶mB＝2∶1,选项A正确,B、D错误；由v＝ωr可知,线速度大小之比vA∶vB＝1∶2,选项C错误。 答案 A
2.(2018·浙江名校协作体)关于环绕地球运动的卫星,下列说法正确的是( ) A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,不可能具有相同的周期 B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道不同位置可能具有相同的速率 C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星,它们的轨道半径有可能不同 D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星,它们的轨道平面一定会重合
R3
解析 环绕地球运动的卫星,由开普勒第三定律T2＝k,当椭圆轨道半长轴与圆形轨道的半径相等时,两颗卫星周期相同,故A错误；沿椭圆轨道运行的卫星,只有引力做功,机械能守恒,在轨道上相互对称的地方(到地心距离相等的位置)速率相同,故Mm
B正确；所有地球同步卫星相对地面静止,运行周期都等于地球自转周期,由GR23GMT24π2R
＝mT2,解得R＝
4π2,轨道半径都相同,故C错误；同一轨道平面、不同轨道半径的卫星,相同轨道半径、不同轨道平面的卫星,都有可能(不同时刻)经过北京上空,故D错误。 答案 B
3.2017年6月15日,我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬X射线调制望远镜卫星“慧眼”。“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平,填补我国空间X射线探测卫星的空白,实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越。“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和γ射线暴等致密天体和爆发现象。在利用“慧眼”观测美丽的银河系时,若发现某双黑洞间的距离为L,只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动,其运动周期为T,引力常量为G,则双黑洞总质量为( ) 4π2L3A.GT2
4π2L3B.3GT2
GL3
C.4π2L2
4π2T3D.GL2 M1M22πM1M2
解析 两黑洞均由万有引力提供向心力,则有GL2＝M1(T)2r1,GL2＝2π24π2r2L24π2r1L24π2L3M2()r2,解得M1＝,M2＝,所以双黑洞总质量为M1＋M2＝,选项
TGT2GT2GT2A正确。 答案 A
4.(2019·吉林长春一模)如图2所示,某双星系统的两星A和B各自绕其连线上的O点做匀速圆周运动,已知A星和B星的质量分别为m1和m2,相距为d。下列说法正确的是( )
图2
A.A星的轨道半径为
m1d
m1＋m2
B.A星和B星的线速度之比为m1∶m2
C.若在O点放一个质点,它受到的合力一定为零
D.若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力,则m′m32＝ （m1＋m2）2m1m2解析 双星的角速度相等,是靠它们之间的万有引力来提供向心力,Gd2＝m2dm1d
m1ω2r1＝m2ω2r2,且r1＋r2＝d,联立解得r1＝,r2＝,故A错误；根据v
m1＋m2m1＋m2v1r1m2＝ωr,可得v＝r＝m,故B错误；若在O点放一个质点,此质点受到的两颗星对它
221的作用力大小不等,则受到的合力不为零,故C错误；若A星所受B星的引力可等m1m2m′m1
效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力,则Gd2＝Gr2,得m′＝
1m32,故D正确。
（m1＋m2）2答案 D
5.如图3所示,一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动,A、B是卫星运动的远地点和近地点。下列说法中正确的是( )
图3
A.卫星在A点的角速度大于B点的角速度 B.卫星在A点的加速度小于B点的加速度 C.卫星由A运动到B过程中动能减小,势能增加 D.卫星由A运动到B过程中引力做正功,机械能增大
解析 由开普勒第二定律知,卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等,θ
故卫星在远地点转过的角度较小,由ω＝t知,卫星在A点的角速度小于在B点的角速度,选项A错误；设卫星的质量为m,地球的质量为M,卫星的轨道半径为r,由万mMGM
有引力定律得Gr2＝ma,解得a＝r2,由此可知,r越大,加速度越小,故卫星在A点的加速度小于在B点的加速度,选项B正确；卫星由A运动到B的过程中,引力做正功,动能增加,势能减小,机械能守恒,选项C、D错误。
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